泰勒展开（泰勒展开公式推导）

常见的泰勒展开式

常见的泰勒展开式如下：

泰勒公式展开式：一个函数N阶可导，则这个函数就可以用泰勒公式N阶展开，即f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+f’’(x0)(x-x0)/2!+...+f＾(n)(x0)(x-x0)＾(n)/n!+0X。

f＾(n)(x0)表示f(x)在x0处的N阶导数，0X表示比山旅(x-x0)＾(n)更高阶的无穷小。用拉格朗日型余项表示则0X=f＾(n+1)(ζ)(x-ζ)＾(n+1)/n+1!，而麦克劳林公式是泰勒公式在0点展开的特例。

泰勒公式可以很容易笑唯的让你得到f(x)展开式中关于x的幂次项的系数，也可由已知的函数的导数值推出原函数多用于求极限问题。比如求lim (e＾x-x-1)/x在x趋近于0时的极限，f(x)=e＾x在x=0处二次展开=e＾(0)+e＾(0)*(x-0)+e＾(0)(x-0)/2!+0x=1+x+x/2。

那么lim (e＾x-x-1)/x=lim (1+x+x/2-x-1)/x=1/2用导数定义去理解，f’(x)=lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)其中x-\。那么就有当x-\时lim f(x)-f(x0)=f’(x)(x-x0)，lim f(x)其于f(x)的误差拉格朗日型余项为f＾(2)(ζ)(x-ζ)＾(2)/2!是(x-x0)的高碰唯培阶无穷小。

泰勒展开的公式及定义

泰勒公式：

f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n

定义：

泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已弊颤知函数

在某一点的各阶租尺败导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数

在这一点的邻域中的值。

扩展资料

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为

一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和。

公式：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这困岩里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项。

注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘。

泰勒展开式是什么？

泰勒展开式定义为若函数f(x)在包含x0的某个开区间（a,b）上具有（n+1)阶的导数，那么对于任一x∈（a,b），有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*((x-x0))^2+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x），其中，Rn(x）＝f(n+1)(ξ）/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)，此处的ξ为x0与x之间的某个值。吵氏

简介

在数学中，泰勒级数（英语： ）用无限项连加式纤拦——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook ）的名字来命名的。

通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数毁碰胡在近似计算中有重要作用。