从火星传图有多难-业余眼光看深空通信
最近天问顺利登陆火星的消息非常热门，有同学问我，火星车、轨道器通信速率都很慢，尤其是火星车，1秒只能发2字节。想看一张图片，要等三四天，真的急死人。作为非通信专业的老师，讲给非通信专业的本科生，我想还是来几个小科普，争取用很简单的初等数学来解释这个问题。
影响传输速率，导致火星车三天多才能传回图像的有两个因素。一方面是通信传输速率本身很慢。另一方面，是因为地球-火星都在自转，即使有轨道器配合中继，一天之内能构成可视的总时间少的可怜。今天，我们先讲一下第一点，就是简单计算一下，到底为什么传输速率这麽慢。注意，下面的所有公式，都不是真正精确计算电磁波的耗散。电磁波耗散与频率有关，下面的公式只是从理解的角度示意性的解释。具体的耗散公式请参考专业的资料。
1 电磁波传播的感性认识
无线电看不见摸不着。同学们可以以可见光来思考这个问题，一样一样的。火星大气很稀薄，无论是火星车还是轨道器，从它们到地球大气层之外，可以近似为真空传播。
1.1 用灯光想象电磁波
假设无限真空里一个灯泡，位于原点，某个时刻，其发出的光，会均匀地向四周传播。在传播距离R处，光的能量（功率）均匀地分布在以灯泡为中心，R为半径的球面上，表面积是 A = 4 π R 2 A=4 \pi R^2 A=4πR2。这个时候，如果你在球面上的某个位置，放置一块太阳能收集板（接收天线，理想100%效率），面积为 S，则能够收集到的能量为总能量的多少分之一呢？我们把这个倍数设为r，
r = S A = S 4 π R 2 r={S \over A}={S \over {4\pi R^2} } r=AS=4πR2S
火星距离地球5000万到4亿公里。为了保证在最远距离上也能通信，R取最远，即四亿公里，和 0 米，即 4 × 1 0 11 4 \times 10^{ 11} 4×1011米。
如此长的距离， A = 2.01 × 1 0 24 A = 2.01\times 10^{24} A=2.01×1024 平方米， r = y S = S / A = 4.97 × 1 0 − 25 S r = yS=S/A=4.97 \times 10 ^ {-25} S r=yS=S/A=4.97×10−25S
显然，如果使用全向点光源，能量的利用率是很差的，4.97e-25折合为对数，Y=-243dB,太大的损耗。不过，实际上天问一号上面搭载的是定向的天线，损耗比这个小。
clc;
clear;
R=4e11;
A=4*pi*R^2;
y = 1/A;
Y=10*log(y)/log(10);
1.2 “聚光灯”效应
为了把有限的功率集中指向地球，一般发射天线会采用抛物面等几何形状，把“光”也就是电磁波聚焦到一个特定的方向。最理想的当然是激光了，但限于天线的工艺和尺寸，一般做不到。关于何种天线、多大口径的天线能够把光柱聚拢到多窄，是专业的天线学科的内容。我们只使用它的结果——天线口径越大，聚光效果越好。假设，使用的天线能够把光束绝大多数能量都聚集在一个角度内，如下图所示：
主要能量都集中在半角度为a的锥体内，且均匀分布（理想），则传播距离R后，能量分布的球冠面积是
A ′ = 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) A'=2\pi R^2 (1-\cos(a)) A′=2πR2(1−cos(a))
这个角度值和天线尺寸趋势相反。由于航天器无法用很大的天线，火星车就更小了，导致角度不会很小。一般来说，小天线能够做到a=30度以内，已经不错了。轨道器可能稍微好一些，本文就以20度作为例子，此时， A ′ = 6.0628 × 1 0 22 A'= 6.0628\times 10^{22} A′=6.0628×1022 平方米, 单位能量密度因子yp=1.6494e-23,
r ′ = S / A = S ∗ y p = 1.6494 × 1 0 − 23 S r'=S/A=S*yp=1.6494\times 10^{-23}S r′=S/A=S∗yp=1.6494×10−23S
折合对数Yp=-227.83dB，效率提高了约100倍。
a = pi* 20 /180;
Ap = 2*pi*R^2*(1-cos(a));
yp = 1/Ap;
Yp=10*log(yp)/log(10);
1.3 对数表示
前面看到，用科学计数法非常容易出错，这是因为我们大量进行乘除法。比如，真空中的发射机的发射功率为 p (mw），聚焦天线角度是a弧度，传输距离是R米，真空中接收天线位置1平方米内收集的理想功率是q(mw)
q = 1.0 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) p q={1.0 \over {2\pi R^2 (1-\cos(a))}}p q=2πR2(1−cos(a))1.0p
这个公式会让一些计算器溢出。对数可以把乘法除法变成加减, 而且不用考虑复杂的科学计数法。我们采用分贝表示相对的倍数，分贝毫瓦表示绝对的功率。对各个参数取10的对数，再乘以10,得到对数单位的表示。
Q = 10 l o g 10 q = 10 l o g 10 p 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) Q={10}{q}={10}{{p} \over {2\pi R^2 (1-\cos(a))}} Q=q=2πR2(1−cos(a))p
Q = 10 l o g 10 p − 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) = P − 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) Q={10}{p}-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))}=P-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))} Q=p−2πR2(1−cos(a))=P−2πR2(1−cos(a))
设 Y p = − 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) , 则 Q = P + Y p 设Yp=-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))},则Q=P+Yp 设Yp=−2πR2(1−cos(a)),则Q=P+Yp
可以简单的理解为，接收位置单位平方米的功率等于发射功率减去路径的衰减Yp。我们带入具体数值：a=20度，R=4亿千米（换算为米），则：
Y p = − 10 l o g 10 2 π R 2 ( 1 − cos ( a ) ) Yp=-{10}{2\pi R^2 (1-\cos(a))} Yp=−2πR2(1−cos(a))
Q = P − 227.83 d B Q=P-227.83dB Q=P−227.83dB
227分贝的衰减是距离导致的几何能量衰减，在普通的通信中，真的是不可想象。
2 传播损耗的定量计算
上面推导的方法便于定性理解耗散，不过用锥角度折算聚焦增益，是很感性、不精确的。一般计算天线的指向性能，都要使用有限元工具，结合材料、尺寸、频段来仿真，并在微波暗室测量得到天线各个方向的聚焦性能。描述传播损耗与增益，一般在对数轴使用弗里斯公式+天线增益的方式进行加减运算。
2.1 弗里斯公式 2.1.1.发射部分
假设三维空间一个全向均匀的天线，向外发射电磁波。则在空间距离D处，这个球面所在位置的功率密度为
E = 1 A = 1 4 π D 2 E={1 \over A}={1 \over {4\pi D^2} } E=A1=4πD21
E的量纲为“每平方米”，即，如果发射能量为1单位，D距离（米）为半径的球面上，单位面积1平方米对应的能量为E单位。
2.1.2.接收部分
在D距离处，有一个等效的全向天线（一个理想振子）。全向天线阵子可以理解是一个导线，等效面积究竟是多少呢？这里用到一个全向天线的“电尺寸”概念，一个全向理想振子的等效截面积是
S = λ 2 4 π S={\^2 \over {4\pi } } S=4πλ2
上述波长 λ \ λ单位为“米”，后面发现这个单位“米”很关键。S量纲为“平方米”
2.1.3.收发合并
收发合并后，接收到的能量密度：
R = E S = 1 4 π D 2 λ 2 4 π R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{\^2 \over {4\pi } } R=ES=4πD214πλ2
R是比例（百分比），无量纲。由于波长等于光速除以频率，即：
λ = C F \= {C\over F} λ=FC
因此上式可以写为：
R = E S = 1 4 π D 2 C 2 4 π F 2 R=ES={1 \over {4\pi D^2} }{C^2 \over {4\pi F^2 } } R=ES=4πD214πF2C2
注意，光速为 米/秒，频率单位为赫兹（Hz）
2.1.4. 带入单位得到弗里斯公式
用d千米(km)表示距离D，用 f 兆赫兹(MHz)表示频率F。这样，上述公式变为：
R = 1 4 π ( 1 0 3 d ) 2 ( 3 × 1 0 8 ) 2 4 π ( 1 0 6 f ) 2 = ( 3 40 π ) 2 ( 1 d ) 2 ( 1 f ) 2 R={1 \over {4\pi (10^3d)^2} }{(3 \^8 )^2 \over {4\pi (10^6f)^2 } }=({3\over{40\pi}})^2({1\over d})^2({1\over f})^2 R=4π(103d)214π(106f)2(3×108)2=(40π3)2(d1)2(f1)2
换算为分贝
Q = 10 lg R = 20 lg 3 40 π − 20 lg d − 20 lg f Q = 10\lg R=20\lg {3\over{40\pi}}-20 \lg d -20 \lg f Q=10lgR=π3−20lgd−20lgf
Q = − 32.4 − 20 lg d − 20 lg f Q = -32.4-20 \lg d -20 \lg f Q=−32.4−20lgd−20lgf
这个-32.4不是温度、气压弄出来的经验值1，这个数是因为使用了MHz、Km作为单位，结合光速折算出来的确切值，保留四位小数，就是 -32.4418。
火星到地球的距离为 4e8千米，假设采用X频段进行通信，，则
Q = − 32.4 − 20 lg 4 e 8 − 20 lg 1 e 4 = − 284.4 d B Q = -32.4-20 \lg 4e8 -20 \lg 1e4=-284.4 dB Q=−32.4−−=−284.4dB
注意，这个损耗是假设发射天线为全向天线，接收也是全向天线时的损耗。由于接收天线的等效面积（电尺寸）在X频段很小，远远不到1平方米，所以这个值比感性认识还要低得多。
2.2.天线增益
天线的增益被定义为在某个方向、距离上收到的能量，与理想全向天线相同方向、距离上收到的能量的比值，也就是dBi (理想全向天线)，没有量纲。由于能量是守恒的，在一个方向上强，其他地方就肯定弱。下图是天线工具箱输出的某类天线的方向图（来自互联网)。
由于方向图描述的是与理想全向天线相比的比例，且在理想情况下，收、发具有互换一致性，因此，可以直接结合弗里斯公式进行增益叠加。这里需要注意的是，天线设计软件在计算方向图时，已经通过物理尺寸、波长，把“电尺寸”和“等效截面积”因素涵盖进去了。
地面接收站，尽可能使用超级大的天线或者阵列，来保证最大的有效面积，取得更高的增益。采用高级放大器，可以获得很高的线性放大增益。
2.2.1 发射天线增益
这里用第一节的感性认识，100倍的聚焦效果来估计，就是20dB。
当然，可以采用天线工具箱进行计算，仿真得到约
A e = 22 d B A_e=22dB Ae=22dB左右的主瓣增益。
2.2.2 接收天线增益
设天线的有效口径 d A d_A dA，则抛物面等效面积为 T = π d A 2 4 T={\pi d_A^2 \over 4} T=4πdA2
与电尺寸 S = λ 2 4 π S={\^2 \over {4\pi } } S=4πλ2 相比，做除法，提供的增益为
A r = 10 ∗ lg ( T / S ) = 20 ∗ lg ( π d A λ ) A_r= 10*\lg(T/S)=20*\lg({\pi d_A \over\ }) Ar=10∗lg(T/S)=20∗lg(λπdA)
带入频率、光速替换波长，
A r = 20 ∗ lg ( π F d A C ) A_r=20*\lg({\pi F d_A \over C}) Ar=20∗lg(CπFdA)
有效口径66米时，天线增益 Ar 应能达到100 dB。
参考这里。
2.3 放大器增益
接收天线后面也会跟着放大器，但是放大倍数是有限的。天问一号采用的有可能是地面低温超导放大器，或者是精密的级联组合。假设LNA低噪声放大器的放大倍数为 A L A_L AL, 则最终的有效功率：
Q R x = Q + A e + A r + A L Q_{Rx}=Q+A_e+A_r+A_L QRx=Q+Ae+Ar+AL
火星探测的轨道器的功率做不太大，不可能像广播电台一样获得电源支持，体积也不能像近地卫星这麽大。假设做到p=10瓦级别是有可能，换算到对数分贝毫瓦，为
p=10;
P=10*log(p*1000)/log(10);
我们不知道放大器的参数，现在假设 A L = 30 d B A_L=30dB AL=30dB
接收信号强度：
Q R x = 40 − 284.4 + 20 + 100 + 30 = − 94 d B m W Q_{Rx}=40-284.4+20+100+30= -94 dBmW QRx=40−284.4+20+100+30=−
接收到的强度为-94 (dBmW)
这个强度的信号，是可以被接收机检测的，但可能受到噪声的影响。各级电路、空间噪声造成的接收机的背景噪声都可能比这个大。如果不进行额外的处理，在FFT后，可能根本看不到信号的频谱。传统的地面的解调技术，要求先要能够从噪声中锁定信号，检测到，并捕获相位。所以，还需要额外的技术，进一步提高功率密度。
3 信号处理增益
信号一旦到达接收天线后，就牵扯到载躁比的问题。到达天线的背景噪声，和信号强度的比值，在到达时刻就已经确定了。
但是，在到达信号接收与处理环节，还有额外的技术提高载躁比，比较容易想到的就是扩频技术了。在航天器的功率、带宽都已经达到器件极限的情况下，只能靠时间来换增益。我们原本发射的0,1,把它变为两串很长的序列，可以直接参考地面CDMA的直接序列扩频技术。
3.1 时间换增益-扩频
假设用n个比特代表0，另外n比特代表1,而后收集整体的n比特长度的时间窗口内的信号进行加成，就会得到扩频增益。这里牵扯到通信专业的知识，不再展开。只要直观理解，n比特的长度的接收信号与自身做乘法累加，等于正负符号都变成平方，累加和会很大,数学期望可以理解为n倍的原始信号。噪声没有规律，和序列相乘，有正有负，加起来还是很小，数学期望不变，还是噪声。设X[i]取值为正负1,S[i]为信号，N[i]为白噪声
E ( ∑ ( X [ i ] ∗ S [ i ] ) ) = n E ( S [ i ] ) E(\sum{(X[i]*S[i])})=nE(S[i]) E(∑(X[i]∗S[i]))=nE(S[i])
E ( ∑ ( X [ i ] ∗ N [ i ] ) ) = E ( N [ i ] ) E(\sum{(X[i]*N[i])})=E(N[i]) E(∑(X[i]∗N[i]))=E(N[i])
信号的幅度提高了n倍，增益为 Ad = 10log(n)
假设我们使用了1000比特代替1比特，则增益为
Ad = 30 dB
此时，即可把等效的功率提高到 -64dBm附近，已经达到了常见器件的处理能力。
3.2 信道编码增益
由于火星距离我们太远了，延迟太大，采用具有反馈的重传是不可能的。天问工程必须采用很强的前向纠错编码。这一部分比较专业，丁老师也没有从理论搞过。但是，还是可以直观理解一些的。采用LDPC或者Turbo码，结合概率迭代，是可以继续提高系统的整体等效增益的。但是，代价是要增加额外的纠错数据。一般为了可靠，1：1甚至1：n的结构是必须的。换句话说，每1比特信息，需要2-3比特来保护。航天工程不会像地面专门讲究性价比，采用1：4的高冗余度的强力编码都是非常可能的。
4 传输速度因素
讲了这麽多，其实可以理解，为了确保可靠通信，每1比特信息，实际上要被变成3-4比特的信道编码。而后，编码后的数据，每1比特再扩展为1000比特，整体的效率可想而知。
假设 轨道器 有效的传输速率为 4Kbps，那样实际数据量为 4 * 4 * 1000 ，为，这也是一个100W的发射机比较典型的速率了。
登陆器上的小天线，如果直接给地球发，功率更弱。考虑到太阳能电池板的大小，做10W体量的发射是比较稳定的。加上天线小，理论上还要弱30dB以上，需要更强的扩频、编码，效率再除以1000，恰好是4bps附近，1秒只能传几个有效的信息位。
6 结语
与我们熟悉的井下应急通信系统不同，深空通信着重考虑的是能量的收集。井下通信，没有地面无线电的干扰，考虑的是信号自身多径衰落比较多。而且为了绕过障碍，井下需要采用很低的频率进行通信，和深空中用高频完全不同。但井下通信和搜救，也是要考虑小信号、弱信号的处理，这一点上，是一致的。
↩︎
