CS269I：Incentives in Computer Science 学习

7 & Over-（自利寻径&网络超额配置）

在这一讲，我们要讨论的是-delay（最短延迟）/（自利）模型中的激励问题。我们要用到的模型起初是为了解决道路交通网络而提出的，但是它在通信网络中也相当常用。（数据传输交通运输）。事实上，最短延迟问题在局域网中是相当普遍的，而不同局域网之间的通信延迟问题则略有不同，我们将在下一讲讨论这个问题。

1 ’s （布雷斯悖论）

现在我们希望从s用若干辆货车运送货物到t，一开始的时候有两条路（如图a），其中vt，sw的通行时间c(x)=1；而sw，vt的通行时间c(x)=x，其中x为走这条路的货车比例（度量道路的拥堵程度）。所有车的寻径都采用 （自利寻径），即走所有的路中最快的路，那么，根据对称性，最终的解为一半的车走上面的路，一半的车走下面的路，用时为3/2。

现在，为了加快交通速度，我们在vw之间修了一条新路，通行时间为0，那么这时候对所有使用自利寻径的车来说，他们必定会走s->v->w->t这条路，因为x≤1，这意味着这条路必然是最快的。这样的话，所有车都会挤到这条路上，这就造成所有车的通行时间都是2，总时间不减反增，岂不怪哉！

这说明：自利的寻径行为并不会最小化道路的通行时间——在一个拥有传输设备的网络中，一个利他的独裁者可以通过禁用中间这条新路来将每个人的通行时间提高25%。

定义：price of （POA，无政府价格）：自利寻径的平均通行时间和集体（独裁）平均通行时间的比例，在本例中即为(2)/(3/2)=4/3

（显然，POA值必定大于1，因为集体分配策略必定不差于个人自行进行寻径）

1.1 &

这种现象并非只是在通讯网络中出现，事实上在自然界也会出现，例如下面的例子：

简单解释一下：在（a）中三段绳子连接的情况下弹簧相当于进行了串联，因此每个弹簧的负载都是下面悬挂的物体的总质量；而（b）中虽然剪断了中间的一段，但是两个弹簧变成的串联，每个弹簧的负载是总质量的一半，因此虽然剪断了绳子，但是这个系统的总负载能力反而提升了。

2 Pigou‘s

当然，事实上4/3这个比例还在更加简单的问题中出现。我们来看下面的问题

首先来看图a的网络：上面的道路c(x)=1，下面的c(x)=x

1°自利寻径：所有人都走下面的这条路，则平均耗时为1

2°集体分配：如果让x的人走上面的路，(1-x)的人走下面的路，则平均耗时为x·1+(1-x)·(1-x)=1-x+x²，在x=1/2的时候取得最小值，此时平均耗时为3/4

因此，该网络的POA值也为4/3

到这里，你可能会猜测，是否网络的POA值的上界就是4/3，但是接下来的例子会反驳这个观点。不过，这个猜测也并非完全错误，我们之后会讨论这个问题。

2.1 （非线性）

接下来来看图b的网络：上面的道路c(x)=1，下面的道路c(x)=x^p

1°自利寻径：仍然所有人会选择下面的路（x^p≤1），平均用时为1

2°集体分配：令比例为ε的人走上路，耗时1；比例为(1-ε)的人走下路，耗时(1-ε)^p，如果p趋近于正无穷的话则耗时趋近于0，故平均耗时为ε，再取ε趋近于0，则当p趋于无穷时平均用时趋于0

因此，p趋近于无穷时，该网络的POA值趋近于正无穷

3 The POA with Cost

虽然非线性的结果并不理想，但是对于线性网络，我们有个非常符合猜想的结果：

定义：线性网络：任意一个信道的cost （c(x)）均形如ax+b

定理：在线性网络中，POA至多为4/3

4 Over-（网络超额配置） 4.1

由于给网络增加容量是相对便宜的，因此在搭建网络的时候一个常用的方法是在网络内安装更多的负载，让网络中有一些冗余。

研究表明，冗余节点的设置有许多好处——可拓展性，更低的延迟和丢包率。它已经成为实现QoS( of )的一种手段。

在这一节中，我们将建立理论来证明增加冗余节点可以提高网络性能。

4.2 POA for Over-

在使用M/M/1队列作为节点的处理序列时，网络延迟函数如下所示：（u_e为最大承载能力）

c e ( x ) = { 1 u e − x if x < u e + ∞ + ∞ if x ≥ u e c_e(x)=\left\{ \begin{} \frac{1}{u_{e}-x} & \quad \text { if }\ \ xce​(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​ue​−x1​+∞​ifx