数学物理方程期末题型汇总

文章目录 章二：二阶 章三：波动方程/双曲方程 （二）半无界问题（初始条件+1边界条件）---------开拓法（三）混合问题（初始条件+2边界条件）-----分离变量法 章四：热方程/抛物方程 （二）混合问题 章五：椭圆方程

本文章为自己期末考试复习整理的内容，其中的一些数字代号仅方便自己对方程类型分类，仅可借鉴。 章一：基本问题 简答

①三类边界条件

②定解问题分类

③解的适定性

定解问题=范定方程+定解条件

定解条件：初始条件、边界条件

定解问题的分类：

/初值问题：只有初始条件，没有边界条件。常常处理无界的问题边值问题：没有初始条件，只有边界条件。常常处理狄氏问题，如稳定的温度场。混合问题：有初始条件和边界条件。

解的适定性（1/3）

（1）存在性：定解问题至少存在一个解

（2）唯一性：定解问题至多有一个解

（3）稳定性：

证明：是否满足解的适定性（1/3）

章二：二阶 计算

二阶方程的特征、分类（双变量四个例题（一个求特征，三个化标准型）

①判断方程类型 （判别式：∆=b2-ac）

②求特征方程特征线

二阶偏微分方程对应的特征方程：

特征线：dy/dx积分

③化标准型

作变换：

∆=b2-ac>0，两组特征线，作变换§=ŋ=，化为标准型：u§ŋ=Du§+Euŋ+Gu+F(§, ŋ)

∆=b2-ac=0，一组特征线，作变换§=ŋ=y

∆=b2-ac 多变量xyz（ppt例五）

章三：波动方程/双曲方程

（一）初值问题 1.一维齐次

达朗贝尔公式：

特点：齐次，原、偏导初值都不为0

延伸问题：求决定区间、影响域

①特征线

一维波动方程的特征方程是：dx/dt=±a

则特征线为 x±at=C

过点(x0,t0)的两条特征线为 x+at=x0+at0 x-at=x0-at0

②依赖区间

u只依赖于初始函数φ与ψ在区间 x0-at0到x0+at0 上的取值

称[x0-at0,x0+at0]为点(x0,t0)的依赖区间

③决定区域

过点[x1,0] 做两条特征线 x+at=x1 x-at=x1

过点[x2,0] 做两条特征线 x+at=x2 x-at=x2

会有两条特征线交到一起，这个三角形区域称为[x1, x2]的决定区域

即定义在[x1, x2]上的初始函数φ与ψ，决定该三角形区域内的u

④影响区域

会有两条特征线未交到一起，这个区域称为[x1, x2]的影响区域

即定义在[x1, x2]上的初始函数φ与ψ，影响该区域内的u

从达朗贝尔公式还可以看出，解在点的数值仅依赖于轴上区间内的初始条件，而与其他点的初始条件无关。区间称为点的依赖区间。它是由过点的两条斜率分别为的直线在轴所截得的区间（（a））。
对初始轴上的一个区间，过点作斜率为 的直线 ，过点作斜率为的直线 ，它们和区间一起构成一个三角形区域（（b）），此三角形区域中任一点 的依赖区间都落在区间 的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个三角形区域称为区间的决定区域，在上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。
若过点分别作直线 ，则经过时间后受到区间上初始扰动影响的区域为，在此区域之外的波动不受上初值扰动的影响，称平面上由上述不等式确定的区域为的影响区域（如图（c））。

例 求下列柯西问题：

2.一维非齐次

齐次化原理/冲量原理/外力化初速度原理--------- 用于求解非齐次式

特点：非齐次，原、偏导初值都=0

无界弦强迫振动的定解问题------利用杜哈梅原理（齐次化原理）求解

特点：非齐次，初值都不为0

方法：拆分叠加+齐次化原理

将该定解问题分解为两个子定解问题

子问题1直接求解得u1，子问题2利用杜哈梅原理求解得u2，u=u1+u2

该解称为无限长弦的受迫振动的达朗贝尔公式

3.二维齐次

【题目】求解二维波动方程

例题：下面举一个例子，说明二维泊松公式的用法。

附上解法，即令 z=x2(x+y)，求解出关于z的达朗贝尔公式，再将 z=x2(x+y)带入

4.二维非齐次 5.三维齐次

下面举一个例子，说明三维泊松公式的用法。

例 设已知 ，

，求方程（3.22）相应柯西问题的解。

解 将给定的初始条件

与

代入（3.31），得到所要求的解为

6.三维非齐次

定解，由杜哈梅原理和三维波动泊松公式求解

（二）半无界问题（初始条件+1边界条件）---------开拓法

对于第一边界条件：

对于第二类边界条件

解的性质

（三）混合问题（初始条件+2边界条件）-----分离变量法 1.齐次+初值11+边界00----------一维两端固定----分离变量法（ppt只有这一类）

例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。

解：设位移函数为u(x,t)，它是定解问题

的解。这时l＝10，并给定 （这个数字与弦的材料，张力有关）。

显然，这个问题的级数形式解可由（2.11）给出，其系数按（2.12）式为

因此，所求的解为

例2 解定解问题

解 这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在x＝l这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件 ，而是第二类齐次边界条件 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与（2.5） ， ，但条件（2.6）应代之以

2.齐次+初值11+边界11-----------------------边界齐次化–代换

特点：齐次，初始条件+边界值x=0，x=l时方程不为零（边界不为0）

令v=u(x,t)−w(x,t)

3.非齐次+初值11+边界00---------------弦的强迫振动为例

特点：非齐次，初始条件+边界值=0（两端固定）

方法：

例 在环形域 内求解下列定解问题：

4.非齐次+初值11+边界11

例1 求下列定解问题：（非齐次+初值00+边界01）

5.二维齐次+初值11+边界00-------------------------分离变量法

特点：齐次，初始条件+边界条件=0（固定端点）

章四：热方程/抛物方程 （一）初值问题 1.齐次（ppt：问题1-2）

称为问题（1）的公式

例；

注需要用到高斯积分

2.非齐次（ppt：问题3）

（二）混合问题

混合问题的流程没有按波动方程的分类流程，而是按照在原问题非齐次方程（1）/（7）的基础上一步步拆分，讨论其子问题（2）-（5）/（8）-（10）的求解进而求得。

（ppt：混合问题1）半直线，细杆一端固定，已知初始温度以及细杆固定端温度，则杆上的温度分布满足如下混合问题：

边界齐次化令v(x,t)=u(x,t)-µ(t)

则：

原问题拆分为

（以上为一端固定）一个边界条件u(0,t)/ux(0,t)

------------------------------------------------------------------------------------**

（以下为两端固定）两个边界条件u(0,t)+u(l,t)/ux(0,t)+ux(l,t)

（ppt混合问题2）有限区间上的热传导方程-------------分离变量法

（初值1+边界11）--------------（非齐次+第一边值问题11）分离变量法

（ppt混合问题3

章五：椭圆方程 1.半空间的格林函数

2.球域的格林函数

3.求解二维无界泊松方程

4.镜像法求格林函数

镜像法法求上半平面第一类泊松方程

例题：求解圆域内泊松方程的第一类边值问题