IEEE754-2008 标准详解(一)：浮点数据的分类
本文是对《C++语法详解》一书相关章节的增补，以增强读者对浮点数的理解，原书引用的是老版的 -1985 标准
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本文摘自本人所作《-2008标准详解》网盘地址
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有兴趣的读者可参阅本人所著《C++语法详解》一书，电子工业出版社出版，该书语法示例短小精悍，对查阅C++知识点相当方便，并对语法原理进行了透彻、深入详细的讲解，可确保读者彻底弄懂C++的原理，彻底解惑C++，使其知其然更知其所以然。此书是一本全面了解C++不可多得的案头必备图书。
由于本人能力有限，文中难免有错漏之处，望广大读者指出更正，不胜感激
第1章 IEEE 754-2008对浮点数据的分类及基本概念
1、注：本文将IEEE 754 -2008简称为IEEE 754
2、实现：比如，想造一辆汽车，于是设计了方案A，然后根据方案A造出了汽车M，则汽车M就是方案A的实现，也可以说，汽车M实现了方案A。同理，-2008只是一个现论上的标准(类似于方案A)，要使标准能真正成为现实，必须得有根据标准的实现，通常编译器会实现-2008中的标准，但不一定会实现所有标准。
1.1 格式
1、格式()：数值( )和符号的表示法()的集合，可能伴有编码。
2、在IEEE中有如下几种类型的格式
3)、整数格式：标准中未定义的一种格式，表示整数的子集，也可能是表示无穷大、NaN或负零的附加值( value)。
4)、交换格式( )：在标准中定义的具有特定的()固定宽度编码的格式。交换格式由它们的大小标识，可以用于实现之间交换浮点数据。可把交换格式理解为是一种编码后的格式。
5)、基本格式：指的是以下五种格式
3、五种基本格式可以被实现为受支持的交换格式或算术格式(见图XXX)，若实现为交换格式则分别称其为二进制交换格式和十进制交换格式。
4、格式可理解为类型，因为编程语言如C++等，可通过类型来实现格式，如浮点格式可使用float、等类型来实现。因此
1.2 实数、浮点数、浮点数据
1、实数包括有理数和无理数，其中无理数是指无限不循环小数，如π，√2等。
2、由于计算机的存储容量有限，无限不循环小数、长度超过规定的有限小数都无法存储，因此，计算机处理的都是长度有限的实数，这些数被称为浮点数，所以，浮点数和实数是不同的，可把浮点数理解为是实数的近似，是实数的有限子集，浮点数通常在计算机中用于近似的表示任意某个实数。
3、浮点数的小数点在使用科学表示法(也称为指数表示法)时，可根据指数的不同而浮动，这是之所以被称为浮点数的原因。
4、由于浮点数是实数的近似，因此，浮点算术也是实算术的一种近似计算，因此，实算术的某些性质并不适用于浮点算术，如加法结合律。
5、在-2008中的浮点数是指的除了NaN之外的浮点数据，而浮点数据包括，
3)、有符号无穷大4)、NaN (not-a-，即，不是一个数)，又分为
6、需要注意的是，中的0和无穷大都是有符号的。
1.3 浮点数据表示法及其值
1、IEEE 754-2008使用浮点数据表示法来表示浮点数据，使用浮点数据表示法表示的数是未编码的，浮点数据表示法包括以下内容：
2、浮点数据表示法与其所表示的值的区别
在IEEE 754中浮点数据表示法与其所表示的值是两个不同的概念，如，假设sign =1， = 5， = 2.34，基数b = 10，则以下三元组是IEEE 754的浮点数据表示法
(1, 5, 2.34) //IEEE754浮点数据表示法
而以下形式表示的是浮点数据表示法的值
(−1)1× 105× 2.34 //浮点数据表示法的值
3、在IEEE 754中，NaN是浮点数据表示法的值，而qNaN或sNaN是浮点数据表示法
4、注意：本文不对“表示法”及其表示的值做严格的区分
5、图XXX是浮点数据的分类以及其表示法的总结
1.4 浮点格式表示的浮点数据范围
1、由于每一种格式的编码长度是有限的，这意味着，格式能表示的浮点数据的范围也是有限的，在特定格式中能表示的浮点数据的范围由基数、有效数的位数、指数的取值范围等限定。
2、-2008规定，每种格式都必须能表示以下浮点数据：
3、公式3和公式4是公式2的一种简化形式，二者是等效的，可相互转换。使用两种形式表示法的主要目的在于在将浮点数进行编码时，使用不同的表示方法可以更方便的进行编码。二者的区别在于
4、公式3和公式4各参数意义如下：
这里的有效数可能与某些教材上使用的有效数有点区别，如1500 × 103 在中，其有效数为1500，而在其他地方有可能有效数则是指的15。因此，本文尽量使用尾数一词，以避免产生不必要的理解混乱。注：-2008不再使用尾数，而只使用有效数。注意：尾数m或c是没有符号的(因为符号是由s指定的)，也就是说尾数总是一个正数。
4)、e和q是指数，其值是分别为位于
emin ≤ e ≤ emax //公式1.5
和
emin ≤ q+p − 1 ≤ emax //公式1.6
间的任何整数，其中，emax 是最大指数，emin是最小指数，且
emin = 1−emax //==公式1.7==
5)、可见，对于有限浮点数，公式3和公式4的关系如下
e = q+p − 1 //公式1.8
m = c × b1−p //公式1.9
6、图XXX为指数表示法的图示
7、注意：公式3和公式4表示的是编码之前的真实值，其参数e、q、c、m、p、emin、emax等都是编码之前的真实参数。表XXX列出了p和emax的取值范围
8、实数、浮点数据、浮点数据表示法、编码之间的关系
将实数转换为二进制位串的过程：通过舍入过程将实数映射为格式中包含的浮点数据，然后再将浮点数据映射到格式中的一种或多种浮点数据表示法，然后再通过编码将浮点数据表示法表示的浮点数据映射为位串。
1.5 规约数与非规约数
1、在特定格式中能表示的浮点数据的范围由基数、有效数的位数、指数的取值范围等限定。
2、以(−1)s × m × be 为例，由于
m = d0.d1 d2…dp−1
3、将以上所表示的浮点数据再次化分为规约数和非规约数。
需要注意的是，本文对规约数与非规约数的推导，其尾数是纯小数形式，而不是纯整数形式，也就是说，是以公式(−1)s × m × be 为准来推导的，而不是以公式 (−1)s × c × bq 来推导的
4、规约数及其范围
5、非规约数及其范围
6、规约数的判断方法
由于正规约数的取值范围为
b emin = 1.00…00× b emin (共p位尾数)
(b−b1−p) × b emax = (b−1).(b−1)(b−1)…(b−1) × bemax (共p位尾数)
从而可以推得，规约数必须同时满足以下两个条件(负规约数可推得相同的结论)
7、非规约数的判断方法
由于正非规约数的取值范围为
(1−b1−p) × b emin = 0.(b−1)(b−1)…(b−1) × b emin
b emin+1−p = 0.00.001× b emin
从而可以推得，非规约数必须同时满足以下两个条件(负非规约数可推得相同的结论)
8、注意：以上公式的参数取值取决于具体使用哪种编码方式，编码方式不同，其参数的值不同，所表示的规约数与非规约数范围就不相同。
9、表XXX为规约数与非规约数的总结
10、示例：对于计算机中常使用的float型浮点数，若使用二进制交换格式编码(详见后文)时，各参数取值如下：
b = 2，p = 24，emin = −126，emax = 127
由此可计算出，最小的正规约数为
b emin = 2−126 ≈1. ×10-38
最大的正规约数为
(b−b1−p) × b emax= (2−21−24) × 2 127 ≈ 3. ×10-38
最小的正非规约数为
b emin+1−p = 2^−126 + 1−24^ =2−149 ≈ 1. ×10-45
最大的正非规约数为
(1−b1−p) × b emin = (1−21−24) × 2 −126 ≈1. ×10-38
同理，可计算机负规约数与负非规约数的取值范围
通过以上计算可以看到，最小正规约数与最大正非规约数的大小是非常接近的。
float型浮点数二进制交换格式编码时的规约数和非规约数的范围如下表XXX所示
11、非规约数与规约数的区别
以下讲解均是指的正规约数和正非规约数，负数可根据以下规则同理推出
由前文讲解可知
1.6 NaN简介
1、NaN分为 Nan(简称sNaN)和quiet NaN(简称qNaN)
2、有效载荷()：是指的编码在NaN末尾有效数字段的部分，通常包含NaN的诊断信息。注：“末尾有效数字段”详见后文。
1.7 舍入和属性
1、可以使用属性来描述某个对象的某些特性，如，“人”具有“身高”、“体重”、“年龄”等属性，也使用属性来描述某些特性。
2、总共包含以下几大类属性：
3、属性通常含有属性值，属性值可以是常量值，也可以是动态模式的值。
4、定义了如下的舍入方向属性(- )
5、有关舍入属性的要求及规则
6、舍入方向属性与0的符号
1.8 为便于讲解本文引入如下规定及概念
1、本文将形如(−1)sign× × 的表示法称为指数表示法
2、对数字的表示本文使用下标的形式表示该数的基数，若无特别说明均是指十进制数，如
1. //一个二进制数
1. //一个十进制数
1. //一个16进制数
3、本文尽量不使用浮点数据的三元组表示法，而使用指数表示法
4、本文对于NaN与qNaN、sNaN的区别不作严格区分，也不对浮点数据表示法及其值作严格的区分。
5、本文将未编码的浮点数据称为真实浮点数据或真实数据，其相应参数被称为真实参数，如指数e称为真实指数
6、在计算机中浮点数通常分为单精度(float型)和双精度(型)，float型通常使用32位存储，使用64位存储，本文重点以float型(32位)为示例进行讲解。
7、本文将有效数通常称为尾数，这样做的目的，主要是更方便理解，但-2008并不称其为尾数。
8、英文单词的重点区别
需要重点区分bit(位)与digit(位数)的区别，bit重点强制二进制数的位数(即比特位)，而digit重点强调十进制数的位数。如，有效数位( bit)，可理解为“尾数位(指比特位)”，为表述准确，也可译为“有效数比特位”；而有效数位数( digit)，重点强调的是十进制数的位数，可理解为“尾数位数(指十进制数的位数)”，本文在易引起混淆的地方，会注明英文单词。
作者：黄邦勇帅(原名：黄勇) 2021年11月28日
