欧拉恒等式

欧拉恒等式

曾被选为数学界最优美的公式，欧拉恒等式：

e i π = − 1 \LARGE e^{\{i}\pi}=-1 eiπ=−1

b u t , w h y ? but,why? but,why?

前置知识 复数

我们当然学过复数乘法。

举个例子，对于复数 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 和 1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i，我们可以利用类似多项式乘法的步骤来计算两个复数的积。

( 1.5 + i ) ( 1 + 2 i ) = 1.5 + 3 i + i − 2 = − 0.5 + 4 i (1.5+\{i})(1+2\{i})\\=1.5+3\{i}+\{i}-2\\=-0.5+4\{i} (1.5+i)(1+2i)=1.5+3i+i−2=−0.5+4i

当然，如果你喜欢你也可以将乘法的过程用复数的几何性质来实现：（有人称为复数的三角乘法）

构造复平面，在平面上标出 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 和 1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i ：

我们做一个以 0 0 0、 1 1 1 和 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 为顶点的三角形，称它为 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形。

1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i 的三角形同理

现在我们将 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形位于实轴上的边放置到 1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i 的三角形的斜边上。

然后将 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形按比例放大，以至当 1.5 + i 1.5+\{i} 1.5+i 的三角形的边与 1 + 2 i 1+2\{i} 1+2i 三角形的斜边契合。

然后我们就得到了这个复数乘积的位置。

按照这个规则，我们也可以轻松得到某个复数的幂得位置：

然后我们就可以得到一个普遍规律：

对于一个复数 a + b i a+b\{i} a+bi

e的含义

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e \large \lim_{n\ \infty} (1+\dfrac{1}{n})^n =e n→∞lim​(1+n1​)n=e

显然， π \pi π 表示一个圆的圆周除以直径，但是在弧度制中 π \pi π 表示半径为 1 1 1 的半圆的弧长。

正片开始

先不考虑复数，我们考虑 e π e^{\pi} eπ 次方到底是什么。

显然这两个超越数的组合不是那么好求。

我们根据 e e e 的定义，我们可以将 e π e^{\pi} eπ 表示为

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + 1 n ) n π \lim_{n\ \infty} (1+\dfrac{1}{n})^{n\pi} n→∞lim​(1+n1​)nπ

转化为

lim ⁡ n → ∞ ( 1 + π n π ) n π \lim_{n\ \infty} (1+\dfrac{\pi}{n\pi})^{n\pi} n→∞lim​(1+nππ​)nπ

由于 n n n 可以取任意数，也就是说 n π n\pi nπ 也是任意值，因此可以将 n π n\pi nπ 用变量 m m m 代替，将式子变为

lim ⁡ m → ∞ ( 1 + π m ) m \lim_{m\ \infty} (1+\dfrac{\pi}{m})^{m} m→∞lim​(1+mπ​)m

顿时好看多了。我们再转为求 e i π e^{\{i}\pi} eiπ

lim ⁡ m → ∞ ( 1 + i π m ) m \lim_{m\ \infty} (1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^{m} m→∞lim​(1+imπ​)m

接下来就变成求一个复数的无穷指数幂了，看起来就觉得它是收敛的，我们逝一下。

观察这个复数 1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ​，我们发现，当 m m m 趋近于无穷时，这个复数就会趋近于 1 1 1。而我们已经知道，若一个复数模长为 1 1 1，则这个复数的任意次幂都是在复平面中的单位圆上的，所以可以认为 e i π e^{\{i}\pi} eiπ 的值必定是一个模长为 1 1 1 的复数，也就是在单位圆上。

那 e i π e^{\{i}{\pi}} eiπ 到底在单位圆的哪个位置呢？我们可以通过复数幂的三角形形式来得到答案。

看图易联想到，对于任意复数 z = 1 + i π m z=1+\{i}\dfrac{\pi}{m} z=1+imπ​，若认为 π m \dfrac{\pi}{m} mπ​ 非常小，甚至趋近于 0 0 0 ，它的 m m m 次幂即 ( 1 + i π m ) m (1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^m (1+imπ​)m 在几何意义上都对应着沿着圆弧移动了 π \pi π 的距离。我们都知道单位半圆的弧长为 π \pi π，因此对于虚部趋近于 0 0 0，模长趋近于 1 1 1 的复数 1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ​，它的 m m m 次幂 ( 1 + i π m ) m (1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^m (1+imπ​)m 的几何意义相当于就是从原先的点运动了半个圆。

如图，对于复数 1 + i π 70 1+\{i}\dfrac{\pi}{70} 1+i70π​ ，它的虚部 π 70 \dfrac{\pi}{70} 70π​ 是一个相对较小的数字，视这个复数贴在圆上，忽略掉误差。

从图中可以清晰的看出，若认为复数贴在圆上，复数的指数每增加 1 1 1 ，这个复数都会沿着圆弧逆时针移动 I m ( z ) = π 70 Im(z)=\dfrac{\pi}{70} Im(z)=70π​ 的距离。也就是说，对于 ( 1 + i π 70 ) 70 (1+\{i}\dfrac{\pi}{70})^{70} (1+i70π​)70，它移动了 70 70 70 次，最后也就是总共沿着圆弧移动了 π 70 ⋅ 70 = π \dfrac{\pi}{70}\cdot 70=\pi 70π​⋅70=π 的距离。

回到原命题。由于 m m m 趋近于无穷，所以 π m \dfrac{\pi}{m} mπ​ 趋近于 0 0 0 ，所以复数 1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ​ 无限贴近复数点 1 1 1。又因为 m m m 次幂表示移动半个圆，因此复数 1 + i π m 1+\{i}\dfrac{\pi}{m} 1+imπ​ 的 m m m 次幂即表示为从 1 1 1 点沿着圆弧逆时针运动半个圆，最后得到的结果也就是 − 1 -1 −1。

所以

e i π = lim ⁡ m → ∞ ( 1 + i π m ) m = − 1 \LARGE e^{\{i}\pi}=\lim_{m\ \infty}(1+\{i}\dfrac{\pi}{m})^m=-1 eiπ=m→∞lim​(1+imπ​)m=−1

这是一个关于欧拉恒等式不那么严谨但是非常直观的几何证明。

参考资料