动态规划思想的实际应用

改编自

改编自洛谷题库 P1048采药

问题描述

小猪是一名天赋异禀的运动员，从小被父母送进体校进行双人运动培训（例如羽毛球、乒乓球等），小猪在漫长的9年训练过程中逐渐丧失了对双人运动的乐趣。

渐渐地，小猪发现自己喜欢的其实是多人运动（例如篮球、足球、王者荣耀等）。但由于害怕教练的责罚，小猪只能偷偷在凌晨的短暂时间内，安排自己的多人运动。

而且由于教练行踪不定，每晚能进行多人运动的时间都是不确定的。小猪进行不同的多人运动可以获得不同的快乐点，例如打篮球、足球、王者荣耀，甚至不同段位的多人运动都会产生不同的快乐点h，并且不同的运动所需要的时间t也不同。

现在小猪一个晚上有多种可选择的多人运动，聪明的你能帮助小猪在晚上有限的时间点内，完成最佳时间管理吗？

目标

在有限的时间T内，给定N个多人运动，每个多人运动有以下特点：

在T时间内安排合理的运动，使得小猪能获得总和最多的快乐点

输入

输出

一个整数H，表示小猪可以获得的快乐最大值

例子 输入

240 5

20 399

221 4500

220 4120

45 5

300 558

240 5（小猪有5个可选择多人运动） 20 390 （王者青铜局，20分钟结束战斗，获得快乐399） 221 4500（打篮球，虽然要221分钟，但是可以获得4500快乐） 220 4120（打母猪焊接，虽然要220分钟，但是可以获得4120快乐） 45 5（打王者荣耀荣耀局，时间长，因为被吊打所以没有什么快乐） 300 558 （崩300分钟的迪，快乐558） 标准答案 4510 分析问题和找到解法 分析

首先 时间是有限的，所以显然我们只能在诸多可能的运动中选择 如果小猪很贪心，直接进行快乐点最多的运动，那么小猪有没有可能直接获得最多的快乐呢？

答案是有可能的，但是不能代表全部的情况。 例如上面的例子，显然直接去打篮球是最多快乐的，但是实际上这个决策只能带来4500的快乐，而比不上打一局青铜王者和母猪焊接一起的4510点快乐来的多，因为浪费了19分钟无法安排任何活动。

那么

如果我们采取价值/时间来决策呢，我们会发现还是打篮球最划算，因为打篮球的价值/时间比是最多的，**然而我们无法达到最多的4510点快乐**。 为什么呢？

我们对问题进行分析，我们最终的状态是什么？

最终的状态：

时间已经达到开始所给的T分钟

那么为什么效率最高的解法——价值/时间最高的方法不是最好的呢？

因为比如上面的例子，有时间被浪费了

那怎么办？

我们需要换个角度来思考了

最终的这个状态是怎么来的？

很显然，最后的240分钟是一分钟一分钟地从0分钟来的，

正如伟大的哲学家所说，劳力士和电子手表，时间是一样转的

不论采取那种组合时间的方式，时间一定会流向终点

比如上述例子，达到最终时间的前一步，一定是做完某一个运动之前的时间，或者一分钟前（无法做运动）

如图，可见要达到最终状态，上一个状态可以是前一分钟（这样什么运动都做不了）

也可以从19分钟开始做（这样可以穿插安排一个打篮球或者母猪焊接）

也可以从18分钟开始做（还是可以穿插一个打篮球或者母猪焊接）

也可以从4分钟开始做（可以打篮球或者母猪焊接）

也可以从20分钟开始做(可以是母猪焊接)

因为已经是最后一步了，所以我们无脑选择这一步最优化的策略，也就是原有的快乐值+现在的快乐值之后总和最多

那么说了这么说，能保证这种做法达到的快乐值最多吗 能！！！

因为，如果我们能保证前一步的所有决策都是最优化的决策（也就是前一步的每一分钟都是最优化的决策），那么我们可以确信，我们现在的决策就是最优的。

换句话说，确保过去是最优解，当前是最优解，那么就能确保未来是最优解。 但是现在的过去相当于过去的现在，所以过去要保证过去的过去是最优化的，过去的过去要保证过去的过去的过去要是最优化的。 禁止套娃 层层套娃，直到不能再套——回到了原点（在本题中就是回到了时间为0的位置）

时间为0，快乐值为0，这一状态有着绝对正确的性质

动态规划

核心就是 我是谁，我从哪里来，我到哪里去，把大问题无限分割

只要保证每一个小问题绝对正确，那么大问题绝对正确

小学课文《走一步，再走一步》深刻挖掘了这种思想

状态转移方程

这样做可能遇到的问题？

这样子可能会遇到重复的问题，也就是说，一个“很好的”运动可能会被用多次

做一点小改进吧

因为如果决策中的运动一样，那么进行这些运动的顺序其实是没有关系的，所以我们可以利用这个特性，把最终的状态定义为

当了解到第N个运动的时候，最佳的决策

也就是说，我们从第一个可能的运动开始遍历，第1个第2个、一直到第N个运动，保证了解到第K个可能的运动的时候我们的决策始终是最佳的

那么我们的状态转移方程就是

我们来结合具体例子看一看 首先小猪来了解王者青铜局

由于当前时间充裕，所以此时dp[1][20]之后的比如 dp[1][21] dp[1][22] dp[1][23] 一直到 dp[1][240] 都是20

我们取dp[1][240]出来，解释为此时最佳决策

然后我们再来看下一个运动打篮球

也可以从20分钟开始做(可以是母猪焊接)

**我们来对比一下

max(dp[1][221] (399), dp[1][19]+va[2] (0+4500))

显然dp[2][221]应该被更新为后者**

也就是说，对于小猪看到打篮球这个第二个运动的时候，小猪发现，原来比起打王者荣耀，还是打篮球更赚喔（小猪是不会考虑以后的，他只考虑当下）

所以当小猪看到可以打母猪焊接的时候，小猪发现

比起dp[2][240],更加应该被更新为 dp[2][20](已经打了王者)+vi[3](母猪焊接)

之后采取任何决策都不会比这个决策更好了

C++代码实现

#include
#define ios std::ios::sync_with_stdio(false)
using namespace std;
int va[105];//用来存储运动相应的价值
int ti[105];//用来存存储运动相应的时间
int dp[1050][1050];//用来存储进行到第t1时间时，前一状态的t2时间最大价值
signed main()
{ios;int T, N;cin >> T >> N;//输入时间t和可选择的项目nfor (int i = 1; i <= N; i++){cin >> ti[i] >> va[i];}for (int k = 1; k <= N; k++){for (int t = 0; t <= T; t++){dp[k][t] = dp[k - 1][t];//先假设上一个决策即使到了现在还是对的if (t - ti[k] >= 0)dp[k][t] = max(dp[k][t], dp[k - 1][t - ti[k]] + va[k]);//如果加上现在决策更好那就换}}for (int i = 1; i <= N; i++){for (int j = 1; j <= T; j++){cout << dp[i][j] << " ";}cout << endl;}cout << dp[N][T] << endl;return 0;
}

我是冷萃泡泡茶，下期再会