（《机器学习》完整版系列）第7章 贝叶斯分类器——7
贝叶斯网是关于属性的，有向线表示“依赖”性的父子关系；通过属性的条件概率表CPT来描述。
有向图转化为无向图：让两亲联姻（连接两结点），称为道德化。
网络结构也是“超参数”，如何选择该“超参数”？
贝叶斯图络学习：两级搜索法
贝叶斯网结构
贝叶斯网（也称信念网）记为 B = < G , Θ > B= B=
假定每个属性与其非后裔属性独立，
由此定义属性的联合分布为
P B ( x 1 , x 2 , ⋯ , x d ) = ∏ i = 1 d P B ( x i ∣ π i ) = ∏ i = 1 d θ x i ∣ π i \begin{align} P_B(x_1, x_2,\cdots,x_d) & =\{\prod }\{i=1}^dP_B(x_i\,|\,{\pi}_i ) \tag{7.40} \\ & =\{\prod }\{i=1}^d {\theta}_{x_i\,|\,{\pi}_i } \tag{7.41} \end{align} PB(x1,x2,⋯,xd)=i=1∏dPB(xi∣πi)=i=1∏dθxi∣πi(7.40)(7.41)
其中， θ x i ∣ π i {\theta}_{x_i\,|\,{\pi}_i } θxi∣πi需要查表，而表有时不是直接给出的，要通过对数据集 D D D中的样本情况进行分门别类地“计数”统计，计算频率来估计的。
【西瓜书图7.3】描述了贝叶斯网中三种依赖关系，并讨论了独立性。
给定一个结点的值，相当于把这个结点染上了黑色（即不能再变化），以此技巧来思考“给定结点值”的情况，则易于理解，如下以生物学的例子来增强记忆。
如图7.1所示， V V V型结构是双性繁殖（ V V V型结构的记忆口诀：自由恋爱好独立，奉子成婚难独立）\tacg{ch7:marr}，当 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2的孩子 x 3 x_3 x3的肤色性状已经确定（如，黑白混血小孩），那么，当 x 1 x_1 x1为白人时， x 2 x_2 x2应为黑人，反之亦然。 故孩子 x 3 x_3 x3的性状给定时，双亲 x 1 x_1 x1与 x 2 x_2 x2的性状不独立。
图7.1 V型结构
V V V型结构中， x 1 x_1 x1与 x 2 x_2 x2可以“自由恋爱”（即独立）生出孩子 x 3 x_3 x3。 即在不给定“共子” x 3 x_3 x3的值时，其父母 x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是独立的，
理论上由【西瓜书式(7.27)】所验证，称为边际独立，记为 x 1 ⊥ ⊥ x 2 x_1 \perp \!\!\! \perp x_2 x1⊥⊥x2。
注：求和符号起边际化的作用，就像在二维表中，对行（或列）求和（即通常的小计），写到最右“边”（边上加一列）（或最下“边”（加一行））中。
如图7.2左侧所示，在同父结构中，若父 x 1 x_1 x1已知（父 x 1 x_1 x1被染黑色）时，单性繁殖了两兄弟 x 2 x_2 x2与 x 3 x_3 x3，影响两兄弟特质变化的外因 x 1 x_1 x1已定，即已体现在两兄弟身上了，不再变化，而再变化的是各自的内因，内因引起的变化当然是独立的。 即变化是条件独立（记忆口诀：单性繁殖两兄弟，内因变化是独立，条件是外因已一致），记为 x 2 ⊥ x 3 ∣ x 1 x_2\, \bot \, x_3\, |\, x_1 x2⊥x3∣x1。
图7.2 同父结构
如图7.2右侧所示，在同父结构中，若父 x 1 x_1 x1未知（父 x 1 x_1 x1未被染色）时，则
P ( x 2 , x 3 ) = ∑ x 1 P ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ∑ x 1 P ( x 1 ) P ( x 2 ∣ x 1 ) P ( x 3 ∣ x 1 , x 2 ) ≠ ∑ x 1 P ( x 1 ) P ( x 2 ∣ x 1 ) P ( x 3 ) = P ( x 3 ) ∑ x 1 P ( x 1 ) P ( x 2 ∣ x 1 ) = P ( x 3 ) ∑ x 1 P ( x 1 , x 2 ) = P ( x 3 ) P ( x 2 ) \begin{align} P(x_2,x_3) & =\sum_{x_1}P(x_1,x_2,x_3)\notag \\ & =\sum_{x_1}P(x_1)P(x_2\,|\,x_1)P(x_3\,|\, x_1,x_2)\notag \\ & \neq \sum_{x_1}P(x_1)P(x_2\,|\,x_1)P(x_3)\notag \\ & = P(x_3)\sum_{x_1}P(x_1)P(x_2\,|\,x_1)\notag \\ & =P(x_3)\sum_{x_1}P(x_1,x_2)\notag \\ & =P(x_3)P(x_2) \tag{7.42} \end{align} P(x2,x3)=x1∑P(x1,x2,x3)=x1∑P(x1)P(x2∣x1)P(x3∣x1,x2)=x1∑P(x1)P(x2∣x1)P(x3)=P(x3)x1∑P(x1)P(x2∣x1)=P(x3)x1∑P(x1,x2)=P(x3)P(x2)(7.42)
不等式(7.42)表明此时 x 2 x_2 x2与 x 3 x_3 x3不独立，称为 x 2 x_2 x2与 x 3 x_3 x3关于 x 1 x_1 x1的边际独立不成立。
按如下方法将有向图转化为无向图：
这样生成的图称为道德图。
在道德图中，若去掉一些结点（结点集 z \{z} z）后，使得结点 x x x和 y y y不再连通，则称 x x x与 y y y被 z \{z} z有向分离（注：这里""翻译成了“有向”，若翻译成“受控的”，则为“受控分离”，这更贴切），记为： x ⊥ y ∣ z x\, \bot \, y\, |\, \{z} x⊥y∣z，即在 z \{z} z的控制下， x x x与 y y y独立。 当集合 z \{z} z退化成一个结点 z z z时，即为前述的条件独立： x ⊥ y ∣ z x\, \bot \, y\, |\, z x⊥y∣z。
贝叶斯图络学习
当网络结构已知时（即有向图的父子关系已知），则训练分类器的步骤为
然而，在现实中，通常不知道网络结构，只有训练集 D D D的数据，这时，将网络结构视为“超参数”。 下面讨论如何选择该“超参数”：
（1）先给定对网络结构评价的偏好，如，最小描述长度（MDL），即找一个能以“最短编码长度”契合训练数据的模型：
由上述两点即可构造出一个评分函数（以求 min \min min为目标）
s ( B ∣ D ) = f ( θ ) ∣ B ∣ − L L ( B ∣ D ) \begin{align} s(B\,|\,D)=f(\theta )|\, B\, |-\{LL}(B\,|\,D) \tag{7.43} \end{align} s(B∣D)=f(θ)∣B∣−LL(B∣D)(7.43)
针对式(7.43)中的第一项，我们看三种特殊情况：
针对式(7.43)中的第二项，我们进行分解
L L ( B ∣ D ) = log P ( D ∣ B ) （对数似然） = log P B ( D ) （为明确起见，换个概率符号） = log P B ( x 1 , x 2 , ⋯ , x m ) （ x i 为样本） = log ∏ i = 1 m P B ( x i ) （由样本的独立性） = ∑ i = 1 m log P B ( x i ) \begin{align} \{LL}(B\,|\,D) & ={\log} P(D\,|\,B)\qquad \text{（对数似然）}\notag \\ & ={\log} P_B(D)\qquad \text{（为明确起见，换个概率符号）}\notag \\ & ={\log} P_B(\{x}_1,\{x}_2,\cdots,\{x}_m)\quad \text{（$\{x}_i$为样本）}\notag \\ & ={\log} \{\prod}\{i=1}^m P_B(\{x}_i)\quad \text{（由样本的独立性）}\notag \\ & =\{\sum}\{i=1}^m {\log} P_B(\{x}_i)\tag{7.44} \end{align} LL(B∣D)=logP(D∣B)（对数似然）=logPB(D)（为明确起见，换个概率符号）=logPB(x1,x2,⋯,xm)（xi为样本）=logi=1∏mPB(xi)（由样本的独立性）=i=1∑mlogPB(xi)(7.44)
P B ( x i ) = P B ( x i 1 , x i 2 , ⋯ , x i d ) = ∏ k = 1 m θ x i k ∣ π k （由式(7.41)，下标改为上标 k ） \begin{align} \quad P_B(\{x}_i) & =P_B(\{x}_i^1,\{x}_i^2,\cdots,\{x}_i^d)\notag \\ & =\{\prod}\{k=1}^m{\theta}_{x_i^k\,|\,{\pi }^k}\quad \text{（由式(7.41)，下标改为上标$k$）}\tag{7.45} \end{align} PB(xi)=PB(xi1,xi2,⋯,xid)=k=1∏mθxik∣πk（由式(7.41)，下标改为上标k）(7.45)
其中， θ x i k ∣ π k = P B ( x i k ∣ π k ) {\theta}_{x_i^k\,|\,{\pi }^k}=P_B({x_i^k\,|\,{\pi }^k}) θxik∣πk=PB(xik∣πk)，下标表示样本编号，上标表示属性编号， π k {\pi }^k πk为第 k k k个属性的父结点集（与样本无关，故它不带下标）。
因 B B B不知，而 D D D已知， B B B要求契合于 D D D，故应
θ x i k ∣ π k = P ^ D ( x i k ∣ π k ) \begin{align} {\theta}_{x_i^k\,|\,{\pi }^k}=\hat{P}_D({x_i^k\,|\,{\pi }^k}) \tag{7.46} \end{align} θxik∣πk=P^D(xik∣πk)(7.46)
其中，右侧为 D D D上的经验分布，它可通过对 D D D中的样本进行分门别类地“计数”，统计频率来估算。
问题又来了： π k {\pi }^k πk并不知道，无从“分门别类”。 也说是说：只有在 k k k属性结点之父 π k {\pi }^k πk确定了，才可依上述讨论求出 s ( B ∣ D ) s(B\,|\,D) s(B∣D)。
综上， max L L ( B ∣ D ) \max \{LL}(B\,|\,D) maxLL(B∣D)变为一个“两级搜索”问题：
通过两级搜索得到最优贝叶斯网络 B ∗ B^* B∗，最优贝叶斯网络 B ∗ B^* B∗体现为： 结构 G G G（部分超参数+搜索其他参数）+一组条件概率表CPT（参数 Θ \Theta Θ），如【西瓜书图7.2】所示。
本文为原创，您可以：
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