02【评价类】模型——TOPSIS法(理想解法、优劣解距离法）
2.1.4 中间型指标
一个指标越靠近某个中间值越好，则称为中间型指标；
比如：河水的PH值（PH=7）。
中间型指标转化为效益型指标的值
为：
公式解释如下，
图2-2 中间型指标转化为效益型指标的公式解释图
根据公式以及图2-2可知，其中
的值为
，即图2-2红色段的长度。公式的右半部分
即表示
与
的距离并作为分子，
与
的最大距离
作为分母；用
来描述
与
的远近程度（
与
距离越远该值越大，越近该值越小），显然这是一个成本型指标，因此我们用1减去
（即
，显然
是属于
的）来将其转化为效益型指标。
2.1.5 问题解决
将决策矩阵正向化处理之后得到正向化矩阵：
其中
可由（2.1.2，2.1.3和2.1.4）中的公式求得。
2.2 正向化矩阵规范化处理
为了去除量纲的影响，因此我们需要对已得到的正向化矩阵进行规范化处理，得到规范化矩阵：
其中
上面公式可解释为，规范化矩阵的每一个元素即为正向化矩阵的对应元素/
。
2.3 构造指标的权重向量 2.3.1 层次分析法求权重向量
求权重向量即为各指标求其所占权重
，我们首先根据成对比较阵标度表对指标两两进行比较，从而得到判断矩阵（成对比较矩阵），然后依照层次分析法的步骤流程来得到权重向量，
其中，
的具体求法请参照本系列其他文章（01层次分析法）。
2.3.2 熵权法求权重向量
具体求法请参照本系列的其他文章（03熵权法）。
2.3.3 默认权重向量
若不采取上面两种方法构造权重向量，则采取默认权重向量，
其中，n为决策矩阵的列数，即指标的个数。
2.3.4 问题解决
在本引例中，采取默认权重向量，即
在求得规范化矩阵
和指标的权重向量
后可得到加权规范阵：
其中，
。
2.4 求各方案到正、负理想解的距离 2.4.1 求正、负理想解
正理想解为：
其中，
。
正理想解即位每个指标在各方案之间的最大值。
负理想解为：
其中，
。
负理想解即位每个指标在各方案之间的最小值。
2.4.2 求各方案与正、负理想解的距离
其中，
其中，
。
这里的与正、负理想解的距离采用的是欧几里得距离（欧氏距离）。
2.4.3求综合指标值
在求得各方案与正负理想解的距离后，则可以得到各个方案的综合指标值（即各方案得分）：
其中
再将综合指标归一化，
其中，
由数据可知，第5所研究院的综合指标值（0.3035）最高。
归一化：归一化的目的就是使得预处理的数据被限定在一定的范围内（比如[0,1]或[-1,1]），从而消除奇异样本数据导致的不良影响。奇异样本数据是指相对于其他输入样本特别大或特别小的样本值。（标准化，规范化又是什么呢？）
三、法程序实现
法的代码实现如下：
//：.m（主程序）
%% TOPSIS
% 程序的预处理部分
clear;clc;
disp('请输入决策矩阵');
A=input('A=');
disp('请输入各列的指标类型(1.效益型,2.成本型,3.区间型,4.中间型)：');
Type=input('Type=');
[n1,n2]=size(A);%% 决策矩阵正向化处理
% 将成本型、区间型和中间型指标转化为效益型指标
X=zeros(n1,n2);
for i=1:n2switch Type(i)case 1X(:,i)=A(:,i);case 2X(:,i)=G_Min2Max(A(:,i));case 3disp('请输入区间的上下界a,b:');a=input('a=');b=input('b=');X(:,i)=Inter2Max(A(:,i),a,b);case 4disp('请输入最好值value：');value=input('value=');X(:,i)=Mid2Max(A(:,i),value);otherwisedisp('您输入的Type中的数据包含不属于1~4的数据，请修改！'); end
end%% 正向矩阵规范法处理
% 为了将已正向化的矩阵消除量纲的影响，则需要对其进行规范化处理
sum_X=sqrt(sum(X.*X));
B=X./repmat(sum_X,n1,1);%% 求加权规范矩阵
% 一个方案的各指标的重要程度不同，则需要对各指标赋予权值
% 构造权重向量主要方法有：层次分析法，熵权法和默认方法
weigh=ones(1,n2)./n2;%默认方法
C=B.* repmat(weigh,n1,1);%% 计算与正负理想解的距离
C_up=max(C);% C_up(j)表示第j个指标的正理想解
C_down=min(C);
temp1=C-repmat(C_up,n1,1);%temp1为cij-C_up(j)的差值
temp2=C-repmat(C_down,n1,1);
D_up=sum(temp1.^2,2).^0.5;%D_up(i)即为第i个方案与正理想解的距离
D_down=sum(temp2.^2,2).^0.5;
result=D_down./(D_up+D_down);%计算各方案的综合指标
disp('result=');
disp(result);
[sort_result,index]=sort(result,'descend');
disp('sort_result=');
disp(sort_result);
disp('index');
disp(index);下面三个代码段为正向化处理时所用到的函数：
//：.m（成本型
效益型）
function [f1]=G_Min2Max(X)
% X表示需要正向化的决策矩阵的某一列[n1,~]=size(X);f1=repmat(max(X),n1,1)-X;
end//：.m（区间型
效益型）
function [f2]=G_Inter2Max(X,a,b)
% X表示需要正向化的决策矩阵的某一列
% a,b分别表示最佳区间的上下限M=max([a-min(X),max(X)-b]);%向量X中的所有元素与最佳区间[a,b]的最远距离f2=ones(size(X),1);for i=1:size(X)if ibf2(i)=1-(X(i)-b)/M;elsef2(i)=1;endend
end //：.m（中间型
效益型）
function [f3]=G_Mid2Max(X,value)
% X表示需要正向化的决策矩阵的某一列
% value表示处于中间的最好值M=max(abs(X-value));f3=1-abs(X-value)/M;
end四、总结
用法解决评价类问题时整体实现的流程：
图4 实现流程图
小结：
法是对于各指标的数据都是已知的，而层析分析法的几乎没有任何数据；因为熵权法存在缺陷，所以平时发表论文时一般不使用，而数模比赛时可以用。
疑问：
归一化、标准化和规范法有什么异同？在写论文时，需要对指标正向化的公式进行解释吗？
结束语：本文部分内容来自于B站“数学建模学习交流”以及疯学网数学建模系列教程
