【2022 年第十二届 MathorCup杯数学建模】D 题 移动通信网络站址规

1 题目

移动通信技术规模飞速发展，运营规模也越来越大，导致带来的通信 网络越来越复杂。随着 5G 的发展，通信的带宽越来越大，但基站的能覆盖范围越来越小，使得覆盖同样的区域，需要的基站数量变的更多。另外， 基站和天线的种类也变多了。这就使得通信网络的规划特别是站址选择的 问题变得越来越复杂。站址选择问题是：根据现网天线的覆盖情况，给出现网的弱覆盖区域，选择一定数量的点，使得在这些点上新建基站后，可 以解决现网的弱覆盖区域的覆盖问题。例如，下图为某城市某区域的现网覆盖情况，其中红色的区域表示为弱覆盖区域。

在实际网络规划中，考虑基站的建设成本和一些其他因素，有时候可 能无法把所有弱覆盖区域都解决，这时候就需要考虑业务量的因素，尽量 优先解决业务量高的弱覆盖区域。

为了便于计算，将给定的区域用很小的栅格进行划分，只考虑每个栅 格的中心点，即任给一个区域，都可以划分成有限个点。每个点有一些属 性值，包括：坐标，是否为弱覆盖点，业务量等。站址也只能选择区域内的点。某个点是否被规划基站覆盖可以按如下方法判断：

设选择基站的覆盖范围为 d，基站所规划的点的坐标为： P0 ( x0 , y0 )，则对于坐标为 P ( x, y )的点，若为该点没有被该基站覆盖。

∣ P − P 0 ∣ ≤ d |P - P_0| \leq d ∣P−P0​∣≤d，则认为该点被该基站覆盖，认为该点被该基站覆盖，否则为该点没有被该基站覆盖。

同时，实际中还需要考虑一个约束条件，即新建站址之间以及新建站 址和现有站址之间的距离不能小于等于给定门限。

问题 1： 给定区域的大小是 2500×2500 个栅格即 2500×2500 个点， 其中横坐标范围是 0 到 2499，纵坐标范围是 0 到 2499。附件 1 中是筛选出该区域中的弱覆盖点的信息，包括每个点的坐标和业务量。给定 2 种基站， 分别为：宏基站（覆盖范围 30，成本 10） 微基站（覆盖范围 10，成本 1）附件 2 中还给出了现网基站的坐标点，新建站址之以及新建站址和现有站址之间的距离的门限是 10。

根据给定的信息和附件中的数据，进行站址规划，使得弱覆盖点总业 务量的 90%被规划基站覆盖。给出选择的站址的坐标以及每个站址选择的基站种类。站址的坐标只能在给定区域内的 2500×2500 个点中选择。

问题 2：进一步考虑，实际中，每个站并不是完全的圆形覆盖，而是

每个站上有 3 个扇区，每个扇区指向一个方向。每个扇区在主方向上覆盖范围最大（宏基站为 30，微基站为 10），在主方向左右 60 度的范围内可以覆盖，覆盖范围按线性逐渐缩小，在 60 度的时候，覆盖范围为主方向覆盖范围的一半。超过 60 度，则无法被该扇区覆盖。考虑每个站的任意 2 个扇区的主方向之间的夹角不能小于 45 度，同时仍然考虑上一问中的基站成本等其他条件，问在最优站址和扇区角度的条 件下，新建站能否覆盖弱覆盖点总业务量的 90%。若能，给出最优站址和扇区角度的结果；否则，给出给出最优站址和扇区角度的结果，并给出最 多可以覆盖的弱覆盖点的总业务量的比例。

问题 3：实际工作中，为了更好的解决弱覆盖问题，需要对弱覆盖点进行区域聚类，把距离近的弱覆盖点聚成一类，可以得到弱覆盖区域，这 样可以对不同的弱覆盖区域分开管理使得可以更好的解决弱覆盖问题。若 2 个弱覆盖点的距离不大于 20，则这 2 个弱覆盖点应聚为一类，并且考虑聚类性质具有传递性，即若点 A 和点 B 是一类的，点 B 和点 C 是一类的，则点 A、B 和 C 都是一类的。试对所有弱覆盖点进行聚类，要求聚类所用方法的总时间复杂度尽量低。

2 解决方案

针对问题一： 将该问题建立最优化数学模型，以最大化业务量覆盖率和最小化成本的比值为目标函数，包含三个约束条件，分别是新建基站与现有基站之间的距离大于最小门限、业务量覆盖率大于90%、基站坐标在一个长和宽都为2500的矩形范围中。再采用基本的粒子群优化算法、带有权重的粒子群优化算法和带有扰动惯性权重的粒子群优化算法进行对比分析。由实验得，带有扰动惯性权重 的粒子群算法效果最佳，业务量覆盖率达94.6%，此时建设宏基455个，微基站1902个，所需成本6452。

针对问题二： 在第一问求解得到的基站坐标位置上，将基站覆盖的范围和扇区方向考虑到建模中。提出一种基于迭代的方位角估计算法，首先初始化每个基站三个方位角，保证扇区之间的夹角为大于或等于45度时，以步长为10度进行迭代。以最大业务量覆盖率为目标，通过多次迭代，输出业务覆盖率最大的扇区方位角组合。如果存在相同业务量覆盖率的结果，以覆盖点较多的作为最终的输出结果，最终最大业务量覆盖率达到88.7%。

针对问题三： 根据题目要求，需将弱覆盖点按照坐标距离进行聚类，因此采用基于一组邻域来描述样本集的紧密程度的聚类方法。设置计算两个样本点之间的距离阈值为20，利用该算法可以描述邻域的样本分布紧密程度的特点，实现了簇的传递性。为了克服算法时间开销大的缺点，采用了一种基于网格单元的改进算法，优化了最耗时的区域查询过程，通过将数据空间划分为网格单元，减少了大量不必要的查询操作，大大减少了点对点距离的计算，模型最终时间复杂度由 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)减小为 O ( n + m k 2 ) O(n+mk^2) O(n+mk2)。

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