数学分析高等代数难题选

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如果有好的题目或解答 (图片或 tex 代码均可), 愿意共享的话, 一可以回帖 (弄了个论坛, 欢迎注册并发言), 二可以发邮件给 . 之后在题后给出链接, 给您扬名 (注明您所写的东西). 我自己给出的话, 就放在了, 因为我不要名, 只是兴趣.

带悬赏的问题你如果做出来了, 请发邮件至, 确认无误后可支付宝给你. 只悬赏给第一个做正确的, 之后我就会删除该悬赏.

这些难题选不一定是难的, 是我一看到后没啥思路的那种. 放在这, 有时间看看, 因为不一定就能做出来了么. 你也可以试试. 有啥好题欢迎共享, 发邮件或者论坛发帖都好.

还真是, 有的自己解决了, 有的被网友解决了. 你也可以自己有空想想.

P0011. (悬赏5元) 设 $$\bex F(s)=\int_0^\pi \f{\cos \phi\rd \phi}{[2(1-\cos\phi)+s]^\f{1}{2}} =\int_0^\f{\pi}{2}\f{\cos(2\phi)\rd \phi}{\sex{\sin^2\phi+\f{s}{4}}^\f{1}{2}},\quad s>0. \eex$$ 试证: (1) $\dps{F(s)=\ln\f{8}{\sqrt{s}}-2+O\sex{s\ln \f{1}{s}}}$, $\dps{F'(s)=-\f{1}{2s}+O\sex{\ln\f{1}{s}}}$, 当 $s\to 0$; (2) $\dps{F(s)=\f{\pi}{2s^\f{3}{2}}+O\sex{\f{1}{s^\f{5}{2}}}}$, $\dps{F'(s)=-\f{3\pi}{4s^\f{5}{2}}+O\sex{\f{1}{s^\f{7}{2}}}}$, 当 $s\to \infty$; (3) 类似地给出 $F''(s)$ 在 $s\to 0$, $s\to\infty$ 时的渐近展式, 并加以证明.

P0010. [宁波大学2018数分] 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续, 且对任意的 $x_0>a,\ \sed{f(nx_0)}_{n=1}^\infty$ 极限存在. 证明: $\dps{\vlmp{x}f(x)}$ 存在. . A can be found in 跟锦数学.

P0009. [中山大学2018高等代数] 设 $\sigma$ 是 $n$ 维实向量空间 $V$ 上的线性变换, 并且有正整数 $m$ 使得 $\sigma^m$ 是 $V$ 上的恒等变换. 证明 $V$ 中存在一个基使得 $\sigma$ 在其上的矩阵为正交矩阵. . A can be found in 跟锦数学.

P0008. 试求 $\dps{\int_0^\f{\pi}{2}\f{x\ln (1-\sin x)}{\sin x}\rd x}$.

P0007. 设 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续可微, $f(0)=0$, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x=\f{1}{3}}$, $\dps{\max_{[0,1]}f'(x)=6}$. 试求 $\dps{\int_0^1 f^3(x)\rd x}$ 的最大值.

P0006. 设 $\sed{x_n}$ 是正数列, 满足 $\dps{\vlm{n}x_n=0}$, $\dps{\vlm{n}\f{\ln x_n}{x_1+\cdots+x_n}}$ 存在, 且为负数. 试证: $\dps{\vlm{n}\f{\ln x_n}{\ln n}=-1}$.

P0005. 设 $\dps{g(s)=\int_0^\infty \sex{1+\f{x}{s}}^s\e^{-x}\rd x-\sqrt{\f{s\pi}{2}},\ s>0}$. 试证: $g$ 严格递减, 且值域为 $\dps{\sex{\f{2}{3},1}}$.

P0004. 设 $f: [0,1]\to\bbR$ 三阶可导, 且 $f'''(x)\geq 0,\ \\ x\in [0,1]$, $\dps{\int_0^1 f(x)\rd x=0}$. 试证: $\dps{10\int_0^1 x^3f(x)\rd x+6\int_0^1 xf(x)\rd x\geq 15\int_0^1 x^2f(x)\rd x}$.A :

P0003. 设 $f$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导, $f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0$, 又存在常数 $M$, 使得在 $[a,b]$ 上恒有 $|f''(x)|\leq M$, 试证: 在 $[a,b]$ 上恒有 $\dps{|f(x)|\leq \f{M}{16}(b-a)^2}$.A :

P0002. (悬赏3元已发至赵应) 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可微, $\lm\in\bbR$. 试证: $f'(x)\e^{\lm x}$ 递增等价于 $f'(x)+\lm f(x)$ 递增.. A can be found in 跟锦数学.

P0001. (悬赏3元已撤销) 设 $D$ 是闭单位圆, 中心在原点. 函数 $f:D\to\bbR$ 是二阶连续可微的凸函数, 且 $f\geq 0$ 在 $\p D$. 试证: $$\bex f(0)\geq-\f{1}{\sqrt{\pi}}\sez{\ (f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2)\rd x\rd y}^\f{1}{2}. \eex$$. A can be found in 跟锦数学.