考研高等数学中值定理总结（一）

涉及f(x)的定理

开始几个定理的证明过程比较复杂，但在几何直观上较易理解，

都以f(x)在[a,b]上连续为前提。

(1)有界性定理：

∃ k>0,使|f(x)|≤k，∀x∈[a,b].

(2)最值定理：

m≤f(x)≤M，其中m，M分别为x在[a,b]上的最小值和最大值。

(3)介值定理：

若m≤μ≤M，则存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ.

(4)零点定理：

若f(a) · f(b)＜0，则存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=0.

结合上图可以很容易理解这四个定理。

需要注意的是零点定理是介值定理的特例，即介值定理可以推出零点定理：因为f(a) · f(b)＜0，可以得出a,b一正一负，其定义域包括零点，令定理(2)中μ=0即可得出定理(3)。

涉及f’(x)的定理

(5)费马引理：

设f(x)在x=x0处：

{ 可 导 取 极 值 \left\{ \begin{array}{c} 可导 \\ 取极值 \\ \end{array} \right. {可导取极值​，

则f’(x0)=0.

对费马引理做一下简单粗略的证明：

不妨设x∈U（x0）时，f(x)≤f(x0),（f(x)≥f(x0)可用同样方法证明），

对于x+Δx∈U（x0）,有f(x+Δx)≤f(x0)，

Δx>0时,

f ( x + Δ x ) − x 0 Δ x ≤ 0 ， \frac{f(x+Δx)-x0}{Δx}≤0 ， Δxf(x+Δx)−x0​≤0，

Δx f ( x + Δ x ) − x 0 Δ x ≥ 0 \frac{f(x+Δx)-x0}{Δx}≥0 Δxf(x+Δx)−x0​≥0

由可导条件即极限保号性得：

f’(x0)=f+’(x0)≤0，

f’(x0)=f-’(x0)≥0.

一个数既大于等于0又小于等于0取交集只能等于0，证毕。

(6)罗尔定理：

设f（x）满足三个条件：

{ [ a , b ] 上 连 续 ( a , b ) 内 可 导 f ( a ) = f ( b ) \left\{ \begin{array}{c} [a,b]上连续 \\ (a,b)内可导\\ f(a)=f(b)\\ \end{array} \right. ⎩⎨⎧​[a,b]上连续(a,b)内可导f(a)=f(b)​，

则存在ξ∈[a,b]，使f ’ (ξ)=0.

罗尔定理可由费马引理推出。

对罗尔定理做一下简单粗略的证明：

由定理(2)最值定理得出，m≤f(x)≤M，其中m，M分别为x在[a,b]上的最小值和最大值。那么存在两种情况：

[1]M=m.此时在[a,b]上f(x)可表示为f(x)=M,∀ξ∈[a,b],f ’ (ξ)=0.

[2]M≠m.因为f(a)=f(b)，所以M和m至少有一个不等于f(a)或f(b),不妨设M≠f(a),那么必然存在ξ∈[a,b]，f(ξ)=M,∀x∈[a,b],f(x)≤f(ξ),由(5)费马引理，f ’ (ξ)=0.

证毕。