单调有界定理适用于函数吗_实数完备性定理|期末不考, 考研要考

想必很多同学跟扬哥一样, 在大一学习课本时, 对实数系基本定理并不重视, 其中的原因是期末考试不考.但实际上实数系基本定理是数学分析的根基,是学好数学分析的一个关键. 拿考研来说, 每年都会有一些学校考察实数系定理之间的相互证明或者基础应用. 下面是 2020 年的一些例子:

我们知道在数轴上, 每个小区间上都有无穷多个有理数, 也有无穷多个无理数, 这种性质称为稠密性, 虽然每个小区间上有无穷多个有理数, 但是有理数并不铺满整个区间, 例如 1, 1.4, 1.41, 1.414,... 这个趋近于 √2 的有理数列, 它的极限却不再是有理数. 那么对于一个无限集合, 如果其中的所有柯西列均收敛于此集合中的某个数, 那么称这个集合具有完备性. 于是有理数集合就不是完备的, 同理无理数集合也不完备, 但实数集是完备的. 理解完备性对学习泛函分析有至关重要的作用.实数完备性基本定理虽有难点, 但整体偏于简单, 且内容很少. 所以建议大家抽出来两三天的时间学好课本上的基础知识点, 暑期适当强化即可.今天的每日一题是确界原理, 下面的题目都默认集合(函数)有界的情况下证明的.

思考题, 对于"杂交"形式, 最关键的处理手段是将其移项变成统一形式, 例如第一个可以将 inf{g(x)} 移到左边, 变成 sup{-g(x)}, 此时根据注 2 即可得到答案.实数完备性基本定理分为: 确界原理, 单调有界原理, 区间套定理, 有限覆盖定理, 聚点定理与致密性定理, 柯西收敛准则. 在考研题目中, 经常遇到这六个定理互推的证明,