计算几何、凸集、平面、超平面、凸函数、凸规划讲解
计算几何、凸集、平面、超平面、凸函数、凸规划讲解 二、凸集 三、三维空间的平面以及跟高维度的超平面 四、凸函数 五、凸规划
一、计算几何 1、计算几何简介
计算几何是一门兴起于二十世纪七十年代末的计算机科学的一个分支，主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
2、计算几何是研究什么的?
计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形，取得了可喜的成功。然而，这些方法过多地依赖于坐标系的选取，缺乏几何不变性，特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时，有一定的局限性。
计算几何问题的输入一般是关于一组几何对象的描述，如一组点、一组线段，或者一个多边形的按逆时针顺序排列的一组顶点。输出常常是对有关这些对象的问题的回答，如是否直线相交，是否为一个新的几何对象，如顶点集合的凸包。
3、相关问题描述
计算几何理论中过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？
假设有两个不相同的，且为n维空间的两个点
所以过两个点的直线方程：
二、凸集 1、凸集的定义
在凸几何中，凸集( set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。
集合C被称为凸集，如果C中任意两点间的线段仍然在C中，即对任意x1,x2∈C满足0 < θ≤1
的θ都有
也就是说，凸集中的每一个点都可以被沿着它们之间一条无阻碍的路看见，那么这个集合就是凸集。
2、直线是凸集吗？
在一维空间中，凸集是单点或一条不间断的线（包括直线、射线、线段）；二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。（例如：在二维中有扇面、圆、椭圆等，在三维中有实心球体等；多数情况下，两个凸集的交集也是凸集，空集也是凸集）
性质：一个集合是凸集，当且仅当集合中任意两点的联系全部包含在该集合内。
证明向量空间是否为凸集的方法为，假设X,Y在空间中，则有任意 a(0≦a≦1)使得aX+(1-a)Y属于向量空间。
所以直线是凸集！
3、直线是仿射集吗？
1.什么是防射集
仿射集亦称仿射流形、线性流形、仿射簇，是实线性空间中的一类子集。非空间射集 M 的维数定义为上述子空间 L 的维数。空集的维数定义为-1。维数分别为0、1，以及2的仿射集为点、直线和平面。ℝ的n次方中n-1维点仿射集称为超平面。
2.直线是仿射集吗？
一个集合C是仿射集，若对任意的x1,x2∈C且θ∈R,，则连接x1,x2的直线也在这个集合内。
如直线是一个仿射集，线段不是仿射集，二维空间是一个仿射集，二维空间中一个正方形不是仿射集。
三、三维空间的平面以及跟高维度的超平面 1、三维空间中的一个平面，如何表达？
三维空间中的平面由两个量确定：
① 一个法向量（垂直于该平面的向量）
② 一个已知点（位于该平面上的一个点）
下面给出在已知平面的法向量n和平面上一个已知点P的情况下，平面的方程
2、超平面定义及表达
1.超平面是n维欧氏空间中余维度等于一的线性子空间，也就是必须是(n-1)维度。
这是平面中的直线、空间中的平面之推广（n大于3才被称为“超”平面），是纯粹的数学概念，不是现实的物理概念。因为是子空间，所以超平面一定经过原点。
2.如何表达超平面
n 维空间中的超平面由下面的方程确定:
其中，w 和 x 都是 n 维列向量，x 为平面上的点，w 为平面上的法向量，决定了超平面的方向，b 是一个实数，代表超平面到原点的距离。且
w 是法向量，b 表示平面到原点的距离。
详细解释可以参考下面链接：参考链接
四、凸函数 1、凸函数的定义
另外还有一种严格凸函数：
用函数图像表示：
一元凸函数表示连接函数图形上任意两点的线段总是位于曲线弧的上方
2、矩阵
1.矩阵简介
黑塞矩阵（ ），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家 Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。
2.定义与性质
3、如何判别一个函数是凸函数
判断一个函数是否为凸函数，最基本的方法是使用其定义。
①对于一元函数f(x)f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0f″(x)≥0 ，则f(x)f(x)是凸函数
②对于多元函数f(X)f(X)，我们可以通过其矩阵（矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果矩阵是半正定矩阵，则是f(X)f(X)凸函数
4、f(x)=x^3 是凸函数吗？
根据上面一元函数的判定方法来进行判定。
因为函数为y=x^3，求一次导： y’=3x^2
再次求导：y’’=6x，可以发现函数的二阶导数总是非负的，所以可以证明为凸函数。
五、凸规划 1、什么是凸规划
若最优化问题的目标函数为凸函数，不等式约束函数也为凸函数，等式约束函数是仿射的，则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集，因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。当凸规划的目标函数为严格凸函数时，若存在最优解，则这个最优解一定是唯一的最优解。
2、如何判别一个规划问题是凸规划问题？
从上面的什么是凸规划可以得出，凸规划有三个限制条件：
①目标函数为凸函数
②不等式约束函数也为凸函数
③等式约束函数是仿射的
3、验证下列（MP）是凸规划
本人的推算结果如下：
通过上面的推算可以得知该问题为凸规划！
参考文献
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本次学习到这里就结束啦，当然这次只是非常简单的学习了这些知识，在后续学习中药深入了解才行！希望可以帮助大家理解这方面的知识。
