自动控制原理与设计仿真练习（Gene.F.Franklin）

灵敏度定义：控制对象的增益偏差变化量引起的闭环传递函数增益变化量的比值；

S G T c l = δ T c l / T c l δ G / G = G T c l δ T c l δ G S_{G}^{T_{cl}}=\frac{\delta T_{cl}/T_{cl}}{\delta G/G}=\frac{G}{T_{cl}}\frac{\delta T_{cl}}{\delta G} SGTcl​​=δG/GδTcl​/Tcl​​=Tcl​G​δGδTcl​​

化简结果如下式所示： S G T c l = G G D 1 + G D ( 1 + G D ) D − D ( G D ) ( 1 + G D ) 2 = 1 1 + G D S_{G}^{T_{cl}}=\frac{G}{\frac{GD}{1+GD}}\frac{\left( 1+GD \right) D-D\left( GD \right)}{\left( 1+GD \right) ^2}=\frac{1}{1+GD} SGTcl​​=1+GDGD​G​(1+GD)2(1+GD)D−D(GD)​=1+GD1​

不同系统型别对不同输入的误差响应：位置误差、速度误差、加速度误差的计算原理是：终值定理。

以输入的不同误差计算为例：

例：计算对下述传递函数的离散化差分方程：

D ( s ) = 1.4 s + 6 s 将 s = 2 T s z − 1 z + 1 带入控制方程： D ( z ) = 1.4 2 T s z − 1 z + 1 + 6 2 T s z − 1 z + 1 = 1.4 ( z − 1 ) + 1.4 ∗ 3 T s ( z + 1 ) ( z − 1 ) = 1.4 z + 4.2 T s z − 1.4 + 4.2 T s z − 1 当 T s = 0.07 时： 1.4 + 4.2 ∗ 0.07 = 1.694 D ( z ) = 1.694 z − 1.106 z − 1 D\left( s \right) =1.4\frac{s+6}{s} \\ \text{将}s=\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}\text{带入控制方程：} \\ D\left( z \right) =1.4\frac{\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}+6}{\frac{2}{T_s}\frac{z-1}{z+1}}\,\,=\frac{1.4\left( z-1 \right) +1.4*3T_s\left( z+1 \right)}{\left( z-1 \right)}=\frac{1.4z+4.2T_sz-1.4+4.2T_s}{z-1} \\ \text{当}T_s=0.07\text{时：}1.4+4.2*0.07=1.694 \\ D\left( z \right) =\frac{1.694z-1.106}{z-1} D(s)=1.4ss+6​将s=Ts​2​z+1z−1​带入控制方程：D(z)=1.4Ts​2​z+1z−1​Ts​2​z+1z−1​+6​=(z−1)1.4(z−1)+1.4∗3Ts​(z+1)​=z−11.4z+4.2Ts​z−1.4+4.2Ts​​当Ts​=0.07时：1.4+4.2∗0.07=1.694D(z)=z−11.694z−1.106​

采用计算：

s=tf('s');
g1=1.4*(s+6)/s;
z1=c2d(g1,0.07,'t');

计算结果：

查漏补缺：进行离散化的不同方式：

SYSD = c2d(SYSC,TS,) a -time model SYSD with time TS that the -time model SYSC.

The the among the :

‘zoh’ Zero-order hold on the

‘foh’ of

‘’ -

‘’ () .

‘’ pole-zero (for SISO only).

The is ‘zoh’ when is . The time TS

be in the time units of SYSC (see “” ).

根轨迹设计法

控制系统的根轨迹形式：

1 + k a ( s ) b ( s ) = 0 b ( s ) + k a ( s ) = 0 1 + k L ( s ) = 0 \begin{array}{c} 1+k\frac{a\left( s \right)}{b\left( s \right)}=0\\ b\left( s \right) +ka\left( s \right) =0\\ 1+kL\left( s \right) =0\\ \end{array} 1+kb(s)a(s)​=0b(s)+ka(s)=01+kL(s)=0​

由于k变化时，s的值即为闭环系统的根，也是系统的闭环极点，因此根轨迹也可作为通过控制k的变换从而调节闭环系统的动态性能。

根轨迹的定义：

定义一：当k从0变化为正无穷大时，闭环特征方程： 1 + K L ( s ) = 0 1+KL(s)=0 1+KL(s)=0的s所满足的集合。

定义二：根据相角条件，由于s为复数，因此原始的特征方程满足： L ( s ) = − 1 / k L(s)=-1/k L(s)=−1/k，根据相角条件可知L(s)即开环传递函数的零极点与测试s点满足以下相角条件。

∑ ( s − ψ z ) − ∑ ( s − ψ p ) = 180 + n ∗ 360 \sum{\left( s-\psi _z \right) -}\sum{\left( s-\psi _p \right)}=180+n*360 ∑(s−ψz​)−∑(s−ψp​)=180+n∗360

其中 ψ z \psi _z ψz​为开环传递函数的零点， ψ p \psi _p ψp​为传递函数的极点。

Dr.Can says:根据根轨迹的定义可以通过相角条件实现零极点匹配。

一般根轨迹由于相角条件为180度，因此也称180度根轨迹。

主要规则：

n条分支从极点出发到零点和无穷远。实轴上根轨迹位于奇数个零极点的左侧；（注意只是实轴上）n-m条根轨迹趋向于无穷远。而且倾斜角为 180 + a ∗ 360 / ( n − m ) 180+a*360/(n-m) 180+a∗360/(n−m)

s=tf('s');
g1=1/(((s+2)^2+2)*((s+1)^2+5));
rlocus(g1);

例：绘制以下图像的根轨迹： L ( s ) = 1 s ( s 2 + 8 s + 32 ) L\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s^2+8s+32 \right)} L(s)=s(s2+8s+32)1​

s=tf('s');
g1=1/(s*(s^2+8*s+32));
rlocus(g1);

根据原始传递函数可知：开环传递函数存在三个极点，分别为原点的极点和i两个共轭复极点。表明该系统为1型系统，可以实现阶跃信号的无差跟踪。三个极点表明系统根轨迹有3条指向无穷远，渐近线为60度，180度，300度。因此有两条根轨迹将穿过虚轴，因此存在临界增益K。如何计算增益k值？可以根据幅值条件计算。

由 于 k = − 1 L ( s ) 因此根轨迹上的点必然满足上式。以下面的开环传递函数为例： L ( s ) = 1 s ( s + a ) ( s + b ) 则若根轨迹过 s 0 点则： k = ∣ s 0 ∣ ∣ s 0 + a ∣ ∣ s 0 + b ∣ 由于k=-\frac{1}{L\left( s \right)} \\ \text{因此根轨迹上的点必然满足上式。以下面的开环传递函数为例：} \\ L\left( s \right) =\frac{1}{s\left( s+a \right) \left( s+b \right)} \\ \text{则若根轨迹过}s_0\text{点则：} \\ k=\left| s_0 \right|\left| s_0+a \right|\left| s_0+b \right| 由于k=−L(s)1​因此根轨迹上的点必然满足上式。以下面的开环传递函数为例：L(s)=s(s+a)(s+b)1​则若根轨迹过s0​点则：k=∣s0​∣∣s0​+a∣∣s0​+b∣

超前补偿的含义：相对于输入的正弦信号，输出的信号相位与输入信号相比具有超前作用。

频率响应分析法

注意当系统的输出存在正弦响应时，可能是系统的输入存在正弦响应，原因是： G ( s ) R ( s ) G(s)R(s) G(s)R(s)的拉普拉斯反变换中存在输入信号的拉普拉斯反变换。

Y ( s ) = G ( s ) A w s 2 + w 2 Y\left( s \right) =G\left( s \right) \frac{Aw}{s^2+w^2} Y(s)=G(s)s2+w2Aw​

在进行频率响应分析时，最终输出的幅值和相位变化是有闭环传递函数的幅相频特性决定的。

采用仿真简单的超前补偿器的bode图： D ( s ) = k s + 1 0.1 s + 1 D\left( s \right) =k\frac{s+1}{0.1s+1} D(s)=k0.1s+1s+1​

num=[1 1];
den=[0.1 1];
sys=tf(num,den);
bode(sys);
grid on;

由上图可以看到 零 点 为 w = 1 ， 极 点 为 w = 10 零点为w=1，极点为w=10 零点为w=1，极点为w=10,对于零点而言，当角频率越大幅值增益越大，因此通过零点后幅值增益提高，而极点由于在分母，因此通过极点后幅值减小。另外相频方面，零点在分子因此相位超前90度，而通过极点后相位滞后90度。由于极点的角频率大于零点角频率，因此高频增益大于低频增益，高频相位超前低频相位，因此将该矫正器称为超前补偿器。

带宽的定义：系统输出能令人满意地跟踪输入正弦波的最大频率。带宽是衡量响应速度的指标。

bode图的特征：采用对数尺度绘制幅频曲线，用线性尺度绘制相频曲线。bode图法的理论依据：

G ( j ω ) = r 1 e j θ 1 r 2 e j θ 2 r 4 e j θ 4 r 5 e j θ 5 r 6 e j θ 6 = r 1 r 2 r 4 r 5 r 6 e j ( θ 1 + θ 2 − θ 4 − θ 5 − θ 6 ) G\left( j\omega \right) =\frac{r_1e^{j\theta _1}r_2e^{j\theta _2}}{r_4e^{j\theta _4}r_5e^{j\theta _5}r_6e^{j\theta _6}}=\frac{}{}e^{j\left( \theta _1+\theta _2-\theta _4-\theta _5-\theta _6 \right)} G(jω)=r4​ejθ4​r5​ejθ5​r6​ejθ6​r1​ejθ1​r2​ejθ2​​=r4​r5​r6​r1​r2​​ej(θ1​+θ2​−θ4​−θ5​−θ6​)

对幅值项取对数：

lg ⁡ ∣ G ( j ω ) ∣ = lg ⁡ r 1 + lg ⁡ r 2 − lg ⁡ r 4 − lg ⁡ r 5 − lg ⁡ r 6 \lg \left| G\left( j\omega \right) \right|=\lg r_1+\lg r_2-\lg r_4-\lg r_5-\lg r_6 lg∣G(jω)∣=lgr1​+lgr2​−lgr4​−lgr5​−lgr6​

上式表明各个项的对数相加即可得到复合表达式的幅值的对数。

什么是分贝？

以分贝为单位的幅相频表示写法：

G ( j ω ) = K 0 j ω τ 1 + 1 ( j ω ) 2 ( j ω τ a + 1 ) ∠ G ( j ω ) = ∠ K 0 + ∠ ( j ω τ 1 + 1 ) − 2 ∠ ( j ω ) − ∠ ( j ω τ a + 1 ) ∣ G ( j ω ) ∣ d B = 20 lg ⁡ ∣ K 0 ∣ + 20 lg ⁡ ∣ j ω τ 1 + 1 ∣ − 40 lg ⁡ ∣ j ω ∣ − 20 lg ⁡ ∣ j ω τ a + 1 ∣ G\left( j\omega \right) =K_0\frac{j\omega \tau _1+1}{\left( j\omega \right) ^2\left( j\omega \tau _a+1 \right)} \\ \angle G\left( j\omega \right) =\angle K_0+\angle \left( j\omega \tau _1+1 \right) -2\angle \left( j\omega \right) -\angle \left( j\omega \tau _a+1 \right) \\ \left| G\left( j\omega \right) \right|_{dB}=20\lg \left| K_0 \right|+20\lg \left| j\omega \tau _1+1 \right|-40\lg \left| j\omega \right|-20\lg \left| j\omega \tau _a+1 \right| G(jω)=K0​(jω)2(jωτa​+1)jωτ1​+1​∠G(jω)=∠K0​+∠(jωτ1​+1)−2∠(jω)−∠(jωτa​+1)∣G(jω)∣dB​=20lg∣K0​∣+20lg∣jωτ1​+1∣−40lg∣jω∣−20lg∣jωτa​+1∣

实践演练

例6.3：绘制以下传递函数的伯德图： G ( j ω ) = 2000 ( s + 0.5 ) s ( s + 10 ) ( s + 50 ) G\left( j\omega \right) =\frac{2000\left( s+0.5 \right)}{s\left( s+10 \right) \left( s+50 \right)} G(jω)=s(s+10)(s+50)2000(s+0.5)​

首先采用绘制：

s=tf('s');
G=2000*(s+0.5)/(s*(s+10)*(s+50));
bode(G);
grid on;

分析：原始传递函数先化简为： G ( j ω ) = 2 ( j ω 0.5 + 1 ) j ω ( j ω 10 + 1 ) ( j ω 50 + 1 ) G\left( j\omega \right) =\frac{2\left( \frac{j\omega}{0.5}+1 \right)}{j\omega \left( \frac{j\omega}{10}+1 \right) \left( \frac{j\omega}{50}+1 \right)} G(jω)=jω(10jω​+1)(50jω​+1)2(0.5jω​+1)​零点转折点w=-0.5，极点转折点w=0,w=10,w=50 . 在 初 始 阶 段 ： 幅 频 曲 线 由 .在初始阶段：幅频曲线由 .在初始阶段：幅频曲线由\frac{2}{j\omega}$决定，即幅值关系为： 20 lg ⁡ ∣ 2 j ω ∣ = 20 lg ⁡ 2 − 20 lg ⁡ ω 20\lg |\frac{2}{j\omega}|=20\lg 2-20\lg \omega 20lg∣jω2​∣=20lg2−20lgω，随后遇到零点为 0.5 r a d / s 0.5rad/s 0.5rad/s后斜率发生转折，由 − 20 d B / d e c 变 化 为 0 d B / d e c -20dB/dec变化为0dB/dec −20dB/dec变化为0dB/dec，在遇到 10 r a d / s 和 50 r a d / s 10rad/s和50rad/s 10rad/s和50rad/s后转折变化为 − 20 d B / d e c 和 − 40 d B / d e c -20dB/dec和-40dB/dec −20dB/dec和−40dB/dec。

例：6.4绘制下图的bode图： G ( s ) = 10 s [ s 2 + 0.4 s + 4 ] G\left( s \right) =\frac{10}{s\left[ s^2+0.4s+4 \right]} G(s)=s[s2+0.4s+4]10​

采用绘制伯德图：

s=tf('s');
G=10/(s*(s^2+0.4*s+4));
bode(G);
grid on;

绘制结果如下图：

注意图中涉及复极点的伯德图绘制，对于二阶复极点，在自然震荡角频率处，幅频曲线的峰值为： 20 lg ⁡ ∣ G ( j ω ) ∣ = 20 lg ⁡ 1 2 ξ = 20 lg ⁡ 1 0.2 = 13.9794 20\lg \left| G\left( j\omega \right) \right|=20\lg \frac{1}{2\xi}=20\lg \frac{1}{0.2}=13.9794 20lg∣G(jω)∣=20lg2ξ1​=20lg0.21​=13.9794，本例中，阻尼系数为0.1，因此二阶复极点贡献的谐振点的峰值约为：14dB.

开环传函判定闭环传递函数稳定的理论依据是什么？

生词

: 滑轮；

下一步计划

于2022年底前完成状态空间法的复习和数字控制器设计的复习。