半瓶子晃荡

在面包板社区 中的一篇博文： 号称能“炸出各种半瓶子晃荡的人"的电路题 介绍了一个电路问题：

一个额定电压为交流220V/50Hz、额定功率为100W的白炽灯与一个整流二极管串联，再连接至220V交流市电，如果忽略二极管的压降以及灯丝随温度改变而发生的变化，则白炽灯的实际功率是多少？

A：100W  B: 50W  C: 25W  D: 22.5W。

▲ 图1.1 半波整流电压信号的功率输出

根据题目中的假设，正确的答案应该是 B：50W 。

文章分析，据说这道题目很多 “对于电路理解半瓶子晃荡” 的人会选择 C：25W ，或者 D:22.5W 。

选择 C 的人会认为，既然电压波形少了一半，那就是电压 U U U 小了一半。根据功率： P = U 2 / R P = U^2 /R P=U2/R ，那么电灯上的功率自然就只剩下原来的四分之一，也就是25W。

选择 D 的人会认为，半波（正弦波 0 ~ π）的平均值为峰值 U P U_P UP​ 的 2 / π 2/\pi 2/π ，而正弦波的有效值 U R M S U_{RMS} URMS​ 为峰值的 2 / π \sqrt 2 /\pi 2​/π ，那么半波的有效值应该在原有效值一半的基础上，乘以 2 / π \sqrt 2 /\pi 2​/π ，也就是 0.5 × 2 / π = 22.5 % 0.5 \times \sqrt 2 /\pi = 22.5\% 0.5×2​/π=22.5% 。

如果是从物理概念上来求解这个问题，则从电压信号的功率定义上理解。功率反映了电压信号在负载上的做功速率。这里的做功就是输出的电能。速率表示单位时间内的做功多少。

对于属于周期信号的交流电，它的功率 P P P 可以由一个周期内输出电能 E T E_T ET​ 除以周期时间 T T T 获得： P = E T T P = {{E_T } \over T} P=TET​​

根据本题给出的条件，理想二极管整流后的半波正弦波在理想灯泡（等价为恒定电阻）输出功率，由于在同样周期内输出电能减少了一半（根据正弦波的对称性）所以功率也减少为原来的一半，即50W。

▲ 图1.2.1 周期信号的功率可以由一个周期内的信号能量除以信号周期获得

一个正弦电压信号可以由其三要素来决定：幅值 U P U_P UP​ 、频率 f 0 f_0 f0​ 和相位 θ \theta θ 。其中幅值决定了电压输出功率。如果负载是电阻，我们把能够产生相同功率的直流电压所对应的数值 U R M S U_{RMS} URMS​ 为交流信号的有效值，经过简单数学推导可以知道： U R M S = 1 2 U P U_{RMS} = {1 \over {\sqrt 2 }}U_P URMS​=2​1​UP​

对于峰值为 U P U_P UP​ 的半波交流信号所对应的有效值，根据前面分析应该是： U R M S = 0.5 U P U_{RMS} = 0.5U_P URMS​=0.5UP​ 。

一个好的提问，往往会引起更多的联想。比如以下两个问题。

节能灯对应的答案是多少？

实际上，现在我们常见的电灯都属于节能灯，通过电路设计往往它们可以适应的电压范围从110V ~ 250V而且保持功率不变。特别是一些带有功率因数补偿的节能灯，对于只有半波整流电压供电时，仍然可以获得稳定的功率输出。

所以，现在对于大多数的节能灯来讲，上面问题答案应该选择： A:100W 。

真实白炽灯功率是多少？

前面的问题中假设了电灯是理想的，也就是它的阻值不随着输出功率变化而改变。我们知道这实际上不符合实际上电灯的物理特性。

在 测量6J1电子管的一些基本特性 测试了电子管阴极加热灯丝电阻的变化，室温时对应电阻为 5.6Ω，施加额定直流电压（6.3V）之后，对应电阻为36.7Ω。显示了灯丝随着温度增加而增加的特点。

在 How hot does a get in a ? 文章中给出了普通的白炽灯泡钨丝的温度达到2500 ~ 3300 ℃左右。

▲ 图2.1.1 灯泡里面的钨丝电子显微镜图像

在 of as a of 中给出了不同温度下，钨灯丝电阻率的变化拟合函数。下图摘录自该文档，可以看到在很大的温度范围内，钨的电阻率与温度之间呈现线性关系。

▲ 图2.1.2 金属钨的电阻率随着温度变化拟合参数

根据 如何测量体温 查到的黑体辐射热量与温度呈现四次方关系：

W e = E ⋅ σ ⋅ T 4 ⋅ A W_e = E \cdot \sigma \cdot T^4 \cdot A We​=E⋅σ⋅T4⋅A

其中：

We：热辐射能力

E：物体辐射系数

σ：-常数

T：物体绝对温度

A：辐射面积

好了，有了上面关于白炽灯泡的了解，将灯泡的电子特性作如下假设：

那么，此时正确的答案应该是多少呢？

距今白炽灯泡的发明已经过去了一个多世纪，Dan , Gary 等在 1999年12月发表了一篇文章： Basic of the Lamp() ，详细介绍了白炽灯泡的物理基础。内容详实，很是吸引人。这篇文章很值得读一读。

▲ 图2.2.1 Basic of the Lamp 以及作者

▲ 图2.2.2 这个谜语的谜底： A joke 问题求解

上面对于真实灯泡输出功率的可以通过列写方程来求解，也可以通过迭代的方式求解灯泡功率，更能凸显灯泡内部热平衡的过程。

比如，不失一般性，可以假设正常供电下：

正常供电下：

灯丝温度T0：2500℃

输出功率P0：100W

电压有效值Urms：220V

此时可以计算出灯丝电阻： R 0 = 484 Ω R_0 = 484\Omega R0​=484Ω ，以及对应黑体辐射系数 E ⋅ σ ⋅ A E \cdot \sigma \cdot A E⋅σ⋅A 的数值。

半波整流后，电压的有效值降低为为 U 1 = 220 / 2 U_1 = 220/\sqrt 2 U1​=220/2​ 。此时可以计算出对应的灯丝功率 P 1 P_1 P1​ ，温度 T 1 T_1 T1​ ，以及对应的电阻 R 1 R_1 R1​ 。

再根据 R 1 R_1 R1​ 重新计算功率，温度，和电阻。如此迭代几次便可以获得最终的灯丝温度、电阻和功率。

下面显示了电灯功率随着迭代次数增加变化的情况。

▲ 图2.5 十次迭代后的灯泡功率

最终电灯输出功率为： P 1 = 57.4 W P_1 = 57.4W P1​=57.4W。可以验证，最终的输出功率与开始假设的起始条件（ U 0 = 220 V , T 0 = 2500 U_0 = 220V,T_0 = 2500 U0​=220V,T0​=2500 ）无关。

from headm import *T0 = 2500
U0 = 220
P0 = 100
R0 = U0**2/P0
E0 = (P0/T0**4)printf(R0, E0)pdim = [P0]
tdim = [T0]
rdim = [R0]U1 = U0/sqrt(2)for i in range(10):p = U1**2/rdim[-1]t = (p/E0)**(1/4)r = t*R0/T0pdim.append(p)tdim.append(t)rdim.append(r)printff(p,t,r)plt.plot(pdim)plt.xlabel("n")
plt.ylabel("Power")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

求解问题

根据灯丝辐射功率等于输入电功率 p p p 与灯丝温度 t t t 的四次方成正比。在正弦波作用下，灯泡的功率为 P 0 = 100 W P_0 = 100W P0​=100W ，对应的灯丝温度为 T 0 T_0 T0​ 。那么有： p P 0 = ( t T 0 ) 4 {p \over {P_0 }} = \left( {{t \over {T_0 }}} \right)^4 P0​p​=(T0​t​)4

在半波整流下，对应的电压为 U 0 / 2 U_0 /\sqrt 2 U0​/2​ ，对应的灯丝电阻为 r r r 。电功率为： p = U 0 2 / 2 r p = U_0^2 /2r p=U02​/2r 。假设在正弦波作用下，电压为 U 0 U_0 U0​ ，对应的电功率为 P 0 P_0 P0​ ，灯丝电阻为： R 0 R_0 R0​ ， P 0 = U 0 2 / R 0 P_0 = U_0^2 /R_0 P0​=U02​/R0​ 。那么 p P 0 = U 0 2 / 2 r U 0 2 / R 0 = R 0 2 r {p \over {P_0 }} = {{U_0^2 /2r} \over {U_0^2 /R_0 }} = {{R_0 } \over {2r}} P0​p​=U02​/R0​U02​/2r​=2rR0​​

再根据钨丝的电阻与温度成正比， r / R 0 = t / T 0 r/R_0 = t/T_0 r/R0​=t/T0​ 。则：

p P 0 = 1 2 R 0 r = 1 2 T 0 t = 1 2 ( p P 0 ) − 1 4 {p \over {P_0 }} = {1 \over 2}{{R_0 } \over r} = {1 \over 2}{{T_0 } \over t} = {1 \over 2}\left( {{p \over {P_0 }}} \right)^{ - {1 \over 4}} P0​p​=21​rR0​​=21​tT0​​=21​(P0​p​)−41​

所以 p = 2 − 4 5 ⋅ P 0 = 0.574 × 100 W = 57.4 W p = 2^{ - {4 \over 5}} \cdot P_0 = 0.574 \times 100W = 57.4W p=2−54​⋅P0​=0.574×100W=57.4W

■ 相关文献链接:

● 相关图表链接: