什么是整数（什么是自然数）

摘自“数学极客：探索数字、逻辑和计算之美”，由 Press 授权，感谢 [Meet Math]！

第 2 章整数

自然数是我们最先认识的数字，但它们完全不够用。鉴于我们处理数字的方式，您最终不可避免地需要扩展到自然数之外。

如果你去商店买东西，付钱换取你想买的东西。你可以花3块钱买一些面包，如果你给主人5块钱，主人要找你2块钱。

当您尝试使用自然数来理解这个过程时，它是没有意义的。资金流向两个不同的方向。第一个方向是从你到商店——花钱；第二个是从商店给你 - 找零。正数和负数可以让我们区分流动的两个方向。

2.1 什么是整数

如果你有自然数并且想要整数，你所要做的就是添加一个加法逆。如果您了解自然数并想进一步了解整数，那么您只需要添加一个方向。想象一条数字线。自然数从0开始向右延伸，与0的左边无关；整数基于自然数，加上从 0 向左延伸的负数。

整数的含义遵循方向的概念。在基数和序数方面，正整数与自然数完全相同。负整数可以让你朝另一个方向移动。如果从基数的角度考虑，整数可以描述集合之间的移动元素。如果你有一组 27 号和另一组 29 号，那么为了使这两组的尺寸相同，你可以选择在第一个集合中添加两个元素，或者从第二个集合中移除两个元素。如果您将两个元素添加到第一组，那么您正在以正基数做事。如果你从第二个集合中删除两个元素，那么你做的事情就是负基数。

从序数的角度更容易理解。如果您正在查看集合中的第 3 个元素，然后想查看第 5 个元素，则向前移动 2 步，此动作由正序数描述。如果您正在查看第 5 个元素，然后想查看第 3 个元素，然后向后移动 2 步，则该动作由否定序数描述。

让我们转向公理化定义。整数是通过向自然数添加逆规则扩展的数字。从自然数集合 N 开始，加上皮亚诺法则，我们只需要添加一个加法逆的附加定义。非零自然数的加法逆是负整数。要获取整数，我们只需要添加以下两条新规则即可。

加法逆元：对于任何非零的自然数n，总有一个非自然数的数-n，使得n+(-n)=0。我们称-n为n的加法逆元，自然数的集合及其加法逆元称为整数。

逆元唯一性：对于任意两个整数 i 和 j，当且仅当 i 是 j 的加法逆元，j 是 i 的加法逆元。

通过这些规则，我们得到了一些新的东西。我们之前讨论的自然数不满足这些规则。那么新事物（负整数）是从哪里来的呢？

答案有点令人失望。他们不是来自任何地方，他们就在那里。在数学中，我们不能创造物体，我们只能描述它们。这些数字（自然数、整数、实数）的存在是因为我们定义了描述它们的规则，而这些规则描述的东西彼此兼容。

对于这一切，有一句时髦的说法：整数就是所有的数字，包括零、正数和负数。

同样，如果你定义了自然数的加法，加法逆规则就足以使加法也适用于整数。而且，由于自然数的乘法只是重复加法，因此乘法也适用于整数。

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2.2自然构造一个整数

我们可以自然地创建数学结构来表示整数。这些结构称为整数模型。但为什么可能呢？另外，模型到底是什么？

在一个新事物（例如整数）的模型中，我们试图证明有某种方法可以使对象遵守我们定义的公理。为此，您可以选择您已经知道的东西并将它们用作“构建块”。使用这些块，您可以构建新的东西并使其服从新系统的公理。例如，当谈到整数时，我们将把我们已经熟悉的自然数作为积木，并使用这些积木来构建可以表示整数的东西。如果我们能证明这个模型中的事物遵循自然数公理，那么我们就知道我们对整数的定义在数学上是兼容的。

我们为什么要这样做？

我们建立这样一个模型有两个原因：首先，证明我们的公理的模型是有意义的。当我们编写公理集时，很容易搞砸并意外地以不一致的方式编写我们的模型。证明我们没有搞砸的模型。我们可以编写一堆看似合理的公理，但它们可能存在一些微妙的不兼容。如果是这样，那么即使在抽象的数学世界中，我们定义的事物也不存在。更糟糕的是，如果我们在这样的公理假设下工作，我们得到的每一个结论都是毫无价值的。如前所述，整数存在的原因是我们定义了整数，并且这些定义在数学上是兼容的。如果我们不能证明可以构造模型，那么就不能保证定义在数学上是兼容的。

第二个原因不如第一个抽象：模型让我们更容易理解，它描述了我们构建的系统应该如何工作。

在我们提到模型之前的最后一句话，重要的是要理解我们所做的是给出一个整数模型，而不是这个整数的模型！我们现在所做的是描述一种表示整数的可能方式，这不是我们将在下面展示它们的方式。因为整数可以有多种表示方式，只要这些方式满足公理，就可以使用。模型和它所建模的事物之间的区别是微妙的，但它非常重要。整数是由公理描述的东西，不是由我们的模型构建的，它们只是表示它们的一种方式。

表示整数的最简单方法是使用一对有序自然数 (a,b)。一对自然数 (a, b) 表示一个整数 (a-b)。显然，(2,3), (3,4), (18,19) 和 (23413,23414)) 都代表同一个数。从数学的角度来看换句话说，整数是由这些自然数对的等价类组成的。

但什么是等价类？

当我们做诸如构建整数模型之类的事情时，通常我们以一种不会为每个整数创建事物的方式来定义事物。我们所做的就是定义一个模型，对于模型中的每一个事物，模型中都有一个可以描述事物的集合，并且集合中的值都是等价的。这组等价值称为等价类。

在我们定义的整数模型中，整数的特征是构造一对自然数。两个对数 (a,b) 和 (b,c) 是等价的：如果它们的第一个和第二个元素等距且朝向相同的方向。例如 (4,7） 和 (6,9）。在数轴上，为了从 4 到 7，你必须向右走 3 步。为了从 6 走到 9，你仍然不能不向右走 3 步。所以，它们属于同一个等价类。但是，当你看 (4,7） 和 (9,6） ，从 4 到 7，你必须向右走 3 步；从 9 到 6，你必须向左走 3 步。所以它们不属于同一个等价类。

上述表示为我们提供了一种简单的方法来理解如何将自然数的各种数学运算应用于整数。我们理解了自然数加法的含义，所以我们可以定义整数的加法。

如果这里整数模型中有两个对象，将它们定义为一对自然数：M=(m1,m2） 和 N=(n1,n2）。它们的加法和减法运算定义如下：

■ M+N = (m1+n1,m2+n2）.

■ M-N = (m1+n2,m2+n1）.

■ 一个数 N =(n1,n2) 的加法逆表示为 -N，即反转自然数对的顺序后的对： -N = (n2,n< @1）.

减法的定义可以证明是非常漂亮的。 3-5 将等于 (3,0）-(5,0），相当于 (3,0）+(0,5）=(3 ,5）@ > 是相等的，是等价类-2的成员。另外，加法逆元的定义只是减法的自然扩展：-N=0-N。

从自然数到整数，我们需要做的就是：增加加法逆。自然数的减法通常也需要某种语义加法逆运算，但这通常会使事情复杂化。

问题在于，如果只使用自然数，就无法定义两个自然数的减法运算。毕竟，如果你数3-5，它的结果不能用自然数来表示。但是对于整数，减法是实用的：对于任何两个整数 M 和 N，M-N 仍然是一个整数。使用正式术语，我们说减法是整数的总函数，并且整数空间对于减法是封闭的。

但这也给我们带来了另一个问题。当我们看整数的加法运算时，很自然会想到减法的加法逆运算，而这个运算可以用整数的加法逆来定义。当我们转向另一个常用的运算乘法时，可以对自然数和整数定义乘法，但不能定义它的逆运算除法，因为我们根本不可能定义整数的乘法逆运算。为了将除法描述为定义明确的运算，我们需要另一种类型的数——有理数，我们将在下一章中介绍。 （待续）

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