质数——数学知识（c++）

一、定义

若一个正整数无法被除1和它自身以外的自然数整除，则该数为质数（或素数），否则该数为合数。

1既不是质数也不是合数。

由定义可得质数的一个性质：只有1和它本身两个因数。

补充：对于一个足够大的整数N，不超过N的质数大约有N/㏑N个。即每㏑N个数中有1个质数。

二、判定质数

根据定义：素数就是一个数除了1 和他本身没有其他因数的数叫做质数。

于是我们对于一个N,可以可以从2枚举到N−1，从而判断这个数是不是质数。

bool Is_prime(int n){if(n==1) return false;if(n==2) return true；for(int i=2;i<n;i++) if(n%i==0) return false;return true;	
}

时间复杂度O(n);

对于上述程序显然不能满足我们的需求，如N较大时，这样的程序肯定容易超时，要想办法优化以上程序。

优化

我们不难发现N的因数是成对出现的，所以对于任何一个整数N，我们只需要从1枚举到sqrt(N)就可以了。

于是代码如下：

bool is_prime(int x)
{if (x < 2) return false;for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )//if (x % i == 0)return false;return true;
}

时间复杂度o(sqrt(n))

ps.关于i1，说明这就是大于sqrt(n)的唯一质因子，输出即可。

试除法

我们可以扫描2~sqrt(N)之间的每一个整数d，若d能整除N，则从N中除掉所有的因子d，同时累计除去的d的个数。

因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了，所以在上述过程中能整除N的一定是质数，最终就得到了质因数分解的结果，易知时间复杂度为O(sqrt(N))。

特别的，若N每有被任何2~sqrt(N)的数整除，则N是质数，无需分解。

时间复杂度： o(n) --> o(sqrt(n))

void divide(int x)
{for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0)//一定为质因子{int s = 0;//求质数的次数. while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;//是否能被再次整除.cout << i << ' ' << s << endl;}//特判, 如果不是1那么就是那个较大的质因子.//最多只有一个大于sqrt(n)的质因子.if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;cout << endl;
}

经典例题

867. 分解质因数

给定n个正整数ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。

输入格式

第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个正整数ai。

输出格式

对于每个正整数ai,按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。

每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。

数据范围

1≤n≤100,

1≤ai≤2∗109

输入样例：

2
6
8

输出样例：

2 1
3 12 3

#include 
#include using namespace std;void divide(int x)
{for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )if (x % i == 0){int s = 0;while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;cout << i << ' ' << s << endl;}if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;cout << endl;
}int main()
{int n;cin >> n;while (n -- ){int x;cin >> x;divide(x);}return 0;
}

四、筛质数

868. 筛质数

给定一个正整数n，请你求出1~n中质数的个数。

输入格式

共一行，包含整数n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示1~n中质数的个数。

数据范围

1≤n≤106

输入样例：

8

输出样例：

4

朴素筛法

把从2~n中的从小到大一次删掉每个数的倍数

#include 
#include using namespace std;const int N= 1000010;int primes[N], cnt;// primes[]存储所有素数
bool st[N];// st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (st[i]) continue;primes[cnt ++ ] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)st[j] = true;}
}int main()
{int n;cin >> n;get_primes(n);cout << cnt << endl;return 0;
}

埃氏筛法

只把质数的倍数删掉

#include 
#include using namespace std;const int N= 1000010;int primes[N], cnt;// primes[]存储所有素数
bool st[N];// st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) {primes[cnt ++ ] = i;for (int j = i + i; j <= n; j += i)//将i的所有倍数删掉（循环放在里面）st[j] = true;}}
}int main()
{int n;cin >> n;get_primes(n);cout << cnt << endl;return 0;
}

线性筛法

//算法核心：x                  仅会被其最小质因子筛去
#include 
#include using namespace std;const int N= 1000010;int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N];// st[x]存储x是否被筛掉void get_primes(int n)
{for (int i = 2; i <= n; i ++ ){if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;//假设primes[0]为n最小的质因子,i为最大的因数，//易知若primes[i]中i>0,则会进入循环后产生多余的标记。for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )//对于任意一个合数x，假设pj为x最小质因子，当i{//标记;primes[j]一定是primes[j]*i的最小质因子st[primes[j] * i] = true;//表明primes[j]一定是i的最小质因子,没有必要再遍历,primes要小于等于i的最小质因子//这样能保证每个数遍历一遍,而没有重复if (i % primes[j] == 0) break;/*1.i%pj == 0, pj定为i最小质因子，pj也定为pj*i最小质因子2.i%pj != 0, pj定小于i的所有质因子，所以pj也为pj*i最小质因子*/}}
}int main()
{int n;cin >> n;get_primes(n);cout << cnt << endl;return 0;
}