管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——几何——记忆

文章目录 整体 局部

本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。 考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

记忆/考点汇总——按大纲

平面几何——【线：从三角形的周边的角，边，到中间的“心”，整体的“形状”，“面积”】

1.角：三角关系，内角和定理。

2. 边：三边关系，中线定理，角平分线。

（1）勾股定理：常见勾股数(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(9,12,15)

（2）中线定理：AD为BC边上的中线， A B 2 + A C 2 = 2 ( A D 2 + B D 2 ) AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2) AB2+AC2=2(AD2+BD2)

塞瓦定理：

3. 边与角：边角关系，正弦定理，余弦定理。

（1）正弦定理： a s i n A = b s i n B = c s i n C = 2 R 外 \frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R_外 sinAa​=sinBb​=sinCc​=2R外​， R 外 = a b c 4 S R_外=\frac{abc}{4S} R外​=4Sabc​

（2）余弦定理： { a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c c o s A , b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c c o s B , c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b c o s C \begin{cases} a^2=b^2+c^2-, \\ b^2=a^2+c^2-, \\ c^2=a^2+b^2- \end{cases} ⎩⎨⎧​a2=b2+c2−,b2=a2+c2−,c2=a2+b2−​

{ c o s A = b 2 + c 2 − a 2 2 b c , c o s B = a 2 + c 2 − b 2 2 a c , c o s C = a 2 + b 2 − c 2 2 a b \begin{cases} cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \\ cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, \\ cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{cases} ⎩⎨⎧​cosA=2bcb2+c2−a2​,cosB=2aca2+c2−b2​,cosC=2aba2+b2−c2​​

（3）张角定理：

（4）边比值：

等腰直角三角形的三边之比： 1 : 1 ： 2 1:1：\sqrt{2} 1:1：2​

内角为 3 0 o 30^o 30o、 6 0 o 60^o 60o、 9 0 o 90^o 90o的直角三角形三边之比为： 1 : 3 : 2 1:\sqrt{3}:2 1:3​:2

等边三角形高与边的比为： 3 : 2 \sqrt{3}:2 3​:2

4. 心：四线五心（内心，外心，垂心，重心，中心）

（1）内心：角平分线的交点，是内切圆的圆心，到三边的距离相等。一般三角形， S = r 2 ( a + b + c ) S=\frac{r}{2}(a+b+c) S=2r​(a+b+c)，S为面积，r为内切圆半径，a,b,c是三边；一般三角形，内切圆半径 r = 2 S a + b + c r=\frac{2S}{a+b+c} r=a+b+c2S​；直角三角形，内切圆半径 r = a + b − c 2 r=\frac{a+b-c}{2} r=2a+b−c​；直角三角形，内切圆半径 r = 3 a 6 r=\frac{\sqrt{3}a}{6} r=63​a​。

（2）外心：三边的中垂线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。 S = a b c 4 R S=\frac{abc}{4R} S=4Rabc​，S为面积，R为外接圆半径。

（3）重心：三条中线的交点。重心将三角形分为三个面积相等的三角形，衷心将中线分成 2 : 1 2:1 2:1两段。已知三角形三个顶点的坐标（ x 1 x_1 x1​, y 1 y_1 y1​）、( x 2 x_2 x2​, y 2 y_2 y2​)、( x 3 x_3 x3​, y 3 y_3 y3​)，则重心坐标为( x 1 + x 2 + x 3 3 \frac{x_1+x_2+x_3}{3} 3x1​+x2​+x3​​, y 1 + y 2 + y 3 3 \frac{y_1+y_2+y_3}{3} 3y1​+y2​+y3​​)

（4）垂心：三条高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。

5. 面积：——【通用公式，特殊公式。/ 多少，最值。/ 定理：求长度定理，求面积定理。/ 五个面积公式。/利用底高，夹角，三边计算面积】

（1）求面积：

底高： S = 1 2 a h S=\frac{1}{2}ah S=21​ah，h是a边上的高。

夹角： S = 1 2 a b s i n C S=\frac{1}{2} S=21​，C是a，b边所夹的角。

三边： S = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} S=p(p−a)(p−b)(p−c)​， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)。

——【求面积汇总公式： S = 1 2 a h [ 底高 → 燕尾定理 ] = 1 2 a b s i n C [ 夹角 → 共角定理 ] = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) [ 三边 ] = r p [ 内心 ] = a b c 4 R [ 外心 ] S=\frac{1}{2}ah[底高→燕尾定理]=\frac{1}{2}[夹角→共角定理]=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[三边]=rp[内心]=\frac{abc}{4R}[外心] S=21​ah[底高→燕尾定理]=21​[夹角→共角定理]=p(p−a)(p−b)(p−c)​[三边]=rp[内心]=4Rabc​[外心]，其中，h是a边上的高，∠C是a,b边所夹的角， p = 1 2 ( a + b + c ) p=\frac{1}{2}(a+b+c) p=21​(a+b+c)，r为三角形内切圆的半径，R为三角形外接圆的半径。】

（2）特殊面积

等腰直角三角形的面积为 S = 1 2 a 2 = 1 4 c 2 S=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{4}c^2 S=21​a2=41​c2，其中a为直角边长，c为斜边长。

等边三角形的面积为 S = 3 4 a 2 S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 S=43​​a2，其中a为边长。

（3）面积比：五大模型：等面积模型，鸟头模型/共角模型，相似模型，燕尾模型，风筝模型，蝴蝶模型。——【根据公式推导的原理，可以得出：

三角形底高面积公式→燕尾定理

三角形sin夹角面积公式→鸟头定理/共角模型

相似定理→射影定理，蝴蝶定理】

6. 面积与边：五大模型：等面积模型，鸟头模型/共角模型，相似模型，燕尾模型，风筝模型，蝴蝶模型。（有动物的定理都跟“面积比与线段比”有关）

（1）鸟头定理：两个三角形中有一个角相等或互补，两个三角形称为共角三角形，共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。（触发条件：出现共角或等角的三角形）——【分为三大模型：共角模型，对顶角模型，补角模型。】

（2）燕尾定理：共顶点的两个形如燕尾的三角形面积比等于底边比。（触发条件：三角形内部有一个点与三顶点连线求面积）

（3）风筝定理：

（4）蝴蝶定理：

7. 形状：相似，全等。

等腰直角三角形：三边之比满足 1 : 1 ： 2 1:1：\sqrt{2} 1:1：2​。——【】

等边三角形：三个内角相等或者四心合一。

（1）相似

① 相似三角形（相似图形）对应边的比相等（即为相似比）。

② 相似三角形（相似图形）的高、中线、角平分线的比也等于相似比。

③ 相似三角形（相似图形）的周长比等于相似比。

④ 相似三角形（相似图形）的面积比等于相似比的平方。

立体几何

长方体：体积： V = a b c V=abc V=abc；表面积： S 表 = 2 ( a b + b c + a c ) S_表=2(ab+bc+ac) S表​=2(ab+bc+ac)；体对角线=外接球的半径R： 2 R = a 2 + b 2 + c 2 2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2} 2R=a2+b2+c2​；

正方体：体积： V = a 3 V=a^3 V=a3；表面积： S 表 = 6 a 2 S_表=6a^2 S表​=6a2；体对角线=外接球的半径R： 2 R = 3 a 2R=\sqrt{3}a 2R=3​a；外接半球半径R： R = 6 2 a R=\frac{\sqrt{6}}{2}a R=26​​a；

圆柱体：体积： V = π r 2 h V=πr^2h V=πr2h；全面积： S 表 = S 侧 + 2 S 底 = 2 π r h + 2 π r 2 S_表=S_侧+2S_底=2πrh+2πr^2 S表​=S侧​+2S底​=2πrh+2πr2；体对角线=外接球的半径R： 2 R = ( 2 r ) 2 + h 2 2R=\sqrt{(2r)^2+h^2} 2R=(2r)2+h2​；

球体：体积： V = 4 3 π r 3 V=\frac{4}{3}πr^3 V=34​πr3——【数字编码法：旗手骑着弓箭手】；全球表面积： S 表 = 4 π r 2 S_表=4πr^2 S表​=4πr2——【理解记忆法：极限为圆柱体表面积2πr*2r】；半球表面积： S 表 = 3 π r 2 S_表=3πr^2 S表​=3πr2；内接正方体体积： V = 8 3 9 r 3 V=\frac{8\sqrt{3}}{9}r^3 V=983​​r3，内接圆柱体体积： V = 4 3 9 π r 2 V=\frac{4\sqrt{3}}{9}πr^2 V=943​​πr2——【抓住等量关系：外接球的直径=体对角线长】——【球内接正方体体积：球内接圆柱体体积=2r：π】

解析几何

整体 目录大纲法 记忆宫殿法 绘图记忆法 局部

记忆——平面几何

记忆——立体几何

记忆——解析几何